【bzoj4031】[HEOI2015]小Z的房间 矩阵树定理
题目描述
你突然有了一个大房子,房子里面有一些房间。事实上,你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形,每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候,相邻的格子之间都有墙隔着。
输入
第一行两个数分别表示n和m。
输出
一行一个整数,表示合法的方案数 Mod 10^9
样例输入
3 3
...
...
.*.
样例输出
15
题解
矩阵树定理
题目显然是求连通图的生成树数目,因此直接使用矩阵树定理即可。
矩阵树定理:连通图的生成树数目等于 |度数矩阵-邻接矩阵| 的矩阵行列式的任意一个n-1阶余子式的值,
但是本题由于模数不为质数,因此不能直接在模意义下消元,需要使用辗转相除法。具体详见代码。
跑得还是挺快的。
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1000000000;
int dx[] = {1 , 0 , -1 , 0} , dy[] = {0 , 1 , 0 , -1} , pos[15][15] , tot;
ll a[110][110];
char str[15];
int main()
{
int n , m , i , j , k , d = 0 , t;
ll ans = 1;
scanf("%d%d" , &n , &m);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
scanf("%s" , str + 1);
for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
if(str[j] == '.')
pos[i][j] = ++tot;
}
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
if(pos[i][j])
for(k = 0 ; k < 4 ; k ++ )
if(pos[i + dx[k]][j + dy[k]])
a[pos[i][j]][pos[i][j]] ++ , a[pos[i][j]][pos[i + dx[k]][j + dy[k]]] -- ;
for(i = 1 ; i < tot ; i ++ )
{
for(j = i ; j < tot ; j ++ )
if(a[j][i])
break;
if(j == tot) continue;
if(j != i)
{
for(k = i ; k < tot ; k ++ ) swap(a[i][k] , a[j][k]);
d ^= 1;
}
for(j = i + 1 ; j < tot ; j ++ )
{
while(a[j][i])
{
t = a[j][i] / a[i][i];
for(k = i ; k < tot ; k ++ ) a[j][k] = (a[j][k] - a[i][k] * t % mod + mod) % mod;
if(!a[j][i]) break;
for(k = i ; k < tot ; k ++ ) swap(a[i][k] , a[j][k]);
d ^= 1;
}
}
}
for(i = 1 ; i < tot ; i ++ ) ans = ans * a[i][i] % mod;
if(d) ans = (mod - ans) % mod;
printf("%lld\n" , ans);
return 0;
}
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