LightOJ 1070 Algebraic Problem:矩阵快速幂 + 数学推导
题目链接:http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1070
题意:
给你a+b和ab的值,给定一个n,让你求a^n + b^n的值(MOD 2^64)。
题解:
a + b也就是a^1 + b^1,然后要从这儿一直推到a^n + b^n。
矩阵快速幂?o( ̄▽ ̄)d
那么主要解决的就是如何从a^n + b^n推到a^(n+1) + b^(n+1)。
下面是推导过程:
由于推a^(n+1) + b^(n+1)要用到a^n + b^n和a^(n-1) + b^(n-1),所以初始矩阵为1*2大小,为[a^0+b^0, a^1+b^1]。
初始矩阵start:
特殊矩阵special:
所求矩阵ans:
ans = start * special^n
ans的第一项即为a^n + b^n.
注:由于题目要求MOD 2^64,所以直接将矩阵内元素定义为unsigned long long类型,自然溢出就好啦。
AC Code:
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_L 5 using namespace std; struct Mat
{
int n;
int m;
unsigned long long val[MAX_L][MAX_L];
Mat()
{
n=;
m=;
memset(val,,sizeof(val));
}
}; int p,q,n,t; Mat make_unit(int n)
{
Mat mat;
mat.n=n;
mat.m=n;
for(int i=;i<n;i++)
{
mat.val[i][i]=;
}
return mat;
} Mat make_start()
{
Mat mat;
mat.n=;
mat.m=;
mat.val[][]=;
mat.val[][]=p;
return mat;
} Mat make_special()
{
Mat mat;
mat.n=;
mat.m=;
mat.val[][]=;
mat.val[][]=-q;
mat.val[][]=;
mat.val[][]=p;
return mat;
} Mat mul_mat(const Mat &a,const Mat &b)
{
Mat c;
if(a.m!=b.n)
{
cout<<"Error: mul_mat"<<endl;
return c;
}
c.n=a.n;
c.m=b.m;
for(int i=;i<a.n;i++)
{
for(int j=;j<b.m;j++)
{
for(int k=;k<a.m;k++)
{
c.val[i][j]+=a.val[i][k]*b.val[k][j];
}
}
}
return c;
} Mat quick_pow_mat(Mat mat,long long k)
{
Mat ans;
if(mat.n!=mat.m)
{
cout<<"Error: quick_pow_mat"<<endl;
return ans;
}
ans=make_unit(mat.n);
while(k)
{
if(k&)
{
ans=mul_mat(ans,mat);
}
mat=mul_mat(mat,mat);
k>>=;
}
return ans;
} int main()
{
cin>>t;
for(int cas=;cas<=t;cas++)
{
cin>>p>>q>>n;
Mat start=make_start();
Mat special=make_special();
Mat ans=mul_mat(start,quick_pow_mat(special,n));
cout<<"Case "<<cas<<": "<<ans.val[][]<<endl;
}
}
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