左偏树 / 非旋转treap学习笔记

背景

非旋转treap真的好久没有用过了... 左偏树由于之前学的时候没有写学习笔记, 学得也并不牢固. 所以打算写这么一篇学习笔记, 讲讲左偏树和非旋转treap.

左偏树

定义

• 左偏树(Leftist Tree)是一种可并堆(Mergeable Heap), 它除了支持优先队列的三个基本操作(插入，删除，取最小节点), 还支持一个很特殊的操作——合并操作;
• 左偏树是一棵堆有序(Heap Ordered)二叉树;
• 左偏树满足左偏性质(Leftist Property):
  • 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值;
  • 节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离;
  • 节点的左子节点右子节点也是一颗左偏树.

操作

注: 这里的左偏树默认是大根堆.

合并

合并两棵左偏树. 在合并操作中, 假设这两棵treap的根节点分别为u和v.

• 比较这两个根节点的权值, 大的作为当前节点,
• 合并当前节点的右儿子和另一个根节点.
• 比较当前节点的两个儿子, 假如右儿子的距离大于左儿子, 则交换两个儿子节点.

插入

插入一个节点.

把这个节点当成是只有根节点的一棵左偏树, 用合并的方法合并至原树中即可.

时间复杂度及证明

我们发现, 对于一棵点数为\(n\)的左偏树, 其最右链的长度不超过\(\log n\)(这里的证明我不太会, 就稍微意会一下吧), 因此合并两棵大小为\(n\)的左偏树的时间复杂度为\(O(\log n)\). 我们考虑开始时每棵左偏树都只有一个节点, 则从初始状态合并至所有节点都在一棵树上的时间复杂度为$$O\left(\frac{n}{2^1} \log 2^0 + \frac{n}{2^2} \log 2^1 + \frac{n}{2^3} \log 2^2 + ... + \frac{n}{2^{k + 1}} \log 2^k \right) = O\left(\frac{n}{2} \log n\right) = O(n \log n)$$

代码

直接看Monkey King的代码就可以了吧.

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>

const int N = (int)1e5;

namespace Zeonfai
{
    inline int getInt()
    {
        int a = 0, sgn = 1;
        char c;

        while(! isdigit(c = getchar()))
            if(c == '-')
                sgn *= -1;
            else if(c == EOF)
                exit(0);

        while(isdigit(c))
            a = a * 10 + c - '0', c = getchar();

        return a * sgn;
    }

    void _print(int a)
    {
        if(! a)
            return;

        _print(a / 10);
        putchar('0' + a % 10);
    }

    inline void println(int a)
    {
        if(a < 0)
            putchar('-'), a *= -a;

        if(! a)
            putchar(0);

        _print(a);
        putchar('\n');
    }
}

struct disjointSet
{
    int anc[N + 1];

    inline void initialize()
    {
        memset(anc, -1, sizeof(anc));
    }

    int access(int u)
    {
        return ~ anc[u] ? anc[u] = access(anc[u]) : u;
    }

    void link(int u, int pre)
    {
        anc[u] = pre;
    }
}st;

struct leftistTrees
{
    struct node
    {
        int suc[2], dis, w;
    }nd[N + 1];

    inline void newNode(int u, int w)
    {
        nd[u].w = w, nd[u].dis = 0, nd[u].suc[0] = nd[u].suc[1] = -1;
    }

    inline void modify(int u)
    {
        newNode(u, nd[u].w >> 1);
    }

    inline int merge(int pre, int u, int v)
    {
        if(! (~ u))
        {
            if(~ v)
                st.link(v, pre);

            return v;
        }

        if(! (~ v))
        {
            if(~ u)
                st.link(u, pre);

            return u;
        }

        if(nd[u].w < nd[v].w)
            std::swap(u, v);

        nd[u].suc[1] = merge(u, nd[u].suc[1], v);

        if(! (~ nd[u].suc[0]) || nd[nd[u].suc[1]].dis > nd[nd[u].suc[0]].dis)
            std::swap(nd[u].suc[0], nd[u].suc[1]);

        nd[u].dis = ~ nd[u].suc[1] ? nd[nd[u].suc[1]].dis + 1 : 0;
        st.link(u, pre);
        return u;
    }

    inline int pop(int u)
    {
        return merge(-1, nd[u].suc[0], nd[u].suc[1]);
    }

    inline int get(int u)
    {
        return nd[u].w;
    }
}hp;

int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("HDU1512.in", "r", stdin);
    freopen("HDU1512.out", "w", stdout);
    #endif

    using namespace Zeonfai;

    while(int n = getInt())
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++ i)
            hp.newNode(i, getInt());

        int m = getInt();
        st.initialize();

        for(int i = 0; i < m; ++ i)
        {
            int u = getInt(), v = getInt(), rtU = st.access(u), rtV = st.access(v);

            if(rtU == rtV)
            {
                puts("-1");
                continue;
            }

            int nwRtU = hp.pop(rtU), nwRtV = hp.pop(rtV);
            hp.modify(rtU), hp.modify(rtV);
            rtU = hp.merge(-1, nwRtU, rtU), rtV = hp.merge(-1, nwRtV, rtV);
            int rt = hp.merge(-1, rtU, rtV);
            println(hp.get(rt));
        }
    }
}

非旋转treap

定义

treap即是tree + heap. 不懂的可以先学习普通treap.

非旋转treap的特别之处在于, 它的操作不依赖于旋转, 而使用类似于左偏树的合并的方式来实现.

操作

首先是一些基本的操作:

合并

给定两棵treap的根节点, 将它们合并起来. 注意这里要求其中一棵treap的任意元素都比另一棵的任意元素小. 实现: 首先把优先级高的一个根节点作为当前节点, 假如另一棵treap比当前点小, 则将其与当前点的左儿子合并, 否则和右儿子合并. 是不是和左偏树的合并非常类似?

分裂

对于一棵以u为根的treap, 将其权值前\(k\)小与剩下部分切开成 两棵 treap并且将其根节点返回. 令sz为根节点节点的左子节点的大小分三种情况讨论:

• \(sz = k\), 则直接断开左儿子, 返回左儿子和当前节点即可;
• \(sz > k\), 同样地断开左儿子, 递归左子树, 得到的结果假设为\((first, second)\), 合并\(u\)和\(second\)作为第二关键字返回即可.
• \(sz < k\), 断开右儿子, 递归右子树, 得到的结果假设为\((first, second)\), 将\(u\)与\(first\)合并作为第一关键字返回即可.

余下的操作都是基于以上的merge和split.

插入

直接merge上去即可.

删除 / 查询

假设要删除第\(L\)到第\(R\)个点, 则先split(R), 再对返回的\(first\)进行\(split(L)\)得到的second即是\([L, R]\)区间.

时间复杂度

显然的\(O(n \log n)\)

代码

只写了merge和split, 而且正确性无法保证.

#include <cstdio>
#include <cctype>

struct treap
{
	struct node
	{
		int w, fix, sz;
		node* suc[2];
	};

	node* rt;

	node* merge(node *u, node *v)
	{
		if(u == NULL)
			return v;
		if(v == NULL)
			return u;
		if(u->fix < v->fix)
			std::swap(u, v);
		u->suc[v->w > u->w] = merge(u->suc[v->w > u->w], v);
		return u;
	}

	std::pair<node*, node*> split(node *u, int k)
	{
		int tmp = u->suc[0] == NULL ? 0 : u->suc[0]->sz;
		if(tmp == k)
		{
			u->suc[0] = NULL;
			return std::make_pair(u->suc[0], u);
		}
		else if(tmp > k)
		{
			std::pair<node*, node*> res = split(u->suc[0], k);
			u->suc[0] = NULL;
			return std::make_pair(res.first(), merge(res.second, u));
		}
		else if(tmp < k)
		{
			std::pair<node*, node*> res = split(u->suc[1], k - tmp - 1);
			u->suc[1] = NULL;
			return std::make_pair(merge(res.first, u), res.second);
		}
	}
}

int main()
{
	using namespace Zeonfai;
	int n = getInt();
	for(int i = 0; i < n; ++ i)
	{
		int opt = getInt();
		if(opt == 1)

	}
}

就这样吧.