[Poetize I]黑魔法师之门
但是Vani认为这样的密码过于简单,因此门上的图是动态的。起初图中只有N个顶点而没有边。Vani建造的门控系统共操作M次,每次往图中添加一条边。你必须在每次操作后都填写正确的密码,才能够打开黑魔法师的牢狱,去拯救伟大的领袖applepi。
刚开始一直在想如何构造,发现太复杂
然后查题解发现只有要当前两点在同一连通块里,ans*=2,最后输出ans-1
表示不理解,就没写。
昨天翻到了lyd的题解
他引入了一个叫 元环 的东西,然后证明答案就是 2^元环的个数
我表示对元环的概念不理解,然后发现如果把整张图画在一张平面上,那么 元环 就是 区域!
然后为什么加入一条边连接两个已在同一连通块里的时候区域数+1呢?
这使我想到了欧拉公式:
V+F-E=2
其中 V表顶点数,F表区域数,E表边数
加入一条边后E++,V不变,所以F要++
至于为什么答案就是2^区域-1
出题人说:
每一个区域有选或不选2种情况,若选就把这个区域的边界的边的选择次数++,最后把所有选择次数为奇数的边选出来救能够成答案。可以证明这是不重不漏的。
至于为什么不重不漏,我还没有思考出结果。
挖坑待填。。。
代码:
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<iostream> #include<vector> #include<map> #include<set> #include<queue> #include<string> #define inf 1000000000 #define maxn 250000 #define maxm 500+100 #define eps 1e-10 #define ll long long #define pa pair<int,int> #define for0(i,n) for(int i=0;i<=(n);i++) #define for1(i,n) for(int i=1;i<=(n);i++) #define for2(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++) #define for3(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--) #define mod 1000000009 using namespace std; inline int read() { int x=,f=;char ch=getchar(); while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();} while(ch>=''&&ch<=''){x=*x+ch-'';ch=getchar();} return x*f; }
int n,m,fa[maxn];
inline int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);} int main() { freopen("input.txt","r",stdin); freopen("output.txt","w",stdout); n=read();m=read();
for1(i,n)fa[i]=i;
int ans=;
for1(i,m)
{
int x=find(read()),y=find(read());
if(x!=y)fa[x]=y;else ans<<=,ans%=mod;
printf("%d\n",(ans-+mod)%mod);
} return ; }
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