[luogu3232 HNOI2013] 游走 (高斯消元 期望)
题目描述
一个无向连通图,顶点从1编号到N,边从1编号到M。 小Z在该图上进行随机游走,初始时小Z在1号顶点,每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边,沿着这条边走到下一个顶点,获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束,总分为所有获得的分数之和。 现在,请你对这M条边进行编号,使得小Z获得的总分的期望值最小。
输入输出格式
输入格式:
第一行是正整数N和M,分别表示该图的顶点数 和边数,接下来M行每行是整数u,v(1<=u,v<=N),表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N<=10,100%的数据满足2<=N<=500且是一个无向简单连通图。
输出格式:
仅包含一个实数,表示最小的期望值,保留3位小数。
输入输出样例
输入样例#1:
3 3
2 3
1 2
1 3
输出样例#1:
3.333
说明
边(1,2)编号为1,边(1,3)编号2,边(2,3)编号为3。
题解
思路就是先求出每一条边的概率,然后编号(概率大的编号小)然后乘起来就是期望
而一条边的期望值等于它所连的两个点到这条边的期望值
而一个点到一条边的期望值等于这个点的期望值*1/点的度数
而一个点(u)的期望值是与它所连的所有点(v)的期望值/度数之和
\(f[x]=\sum_{i=1}^k\frac{f[i]}{du[i]}\) k是x所连所有点的点集
根据这个每个点列出方程高斯消元即可(注意1和n点)
code:
//By Menteur_Hxy
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#define LL long long
#define M(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
#define F(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define C(i,a,b) for(register int i=(b);i>=(a);i--)
#define E(i,u) for(register int i=head[u];i;i=nxt[i])
using namespace std;
LL rd() {
LL x=0,f=1; char c=getchar();
while(!isdigit(c)) {if(c=='-') f=-f;c=getchar();}
while(isdigit(c)) x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();
return x*f;
}
const int N=510;
struct edge
{
int to,next;
}e[N*N*2];
int st[N*N*2],n,m,tot,x,y,s[N*N*2],ed[N*N*2];
double d[N],f[N][N],ans[N],sum,E[N*N*2];
void add(int x,int y)
{
e[++tot].to=y;
e[tot].next=st[x];
st[x]=tot;
}
const double eps=1e-11;//之前1e-7结果精度爆炸QAQ
int gauss() {
int h=1,l=1;n-=1;
for(;h<=n&&l<=n+1;h++,l++) {
int r=h;
F(i,h+1,n) if(fabs(f[r][l])<fabs(f[i][l])) r=i;
if(fabs(f[r][l])<eps) {h--;continue;}
if(r!=h) F(i,l,n+1) swap(f[r][i],f[h][i]);
F(i,h+1,n) if(fabs(f[i][l])>eps) {
double t=f[i][l]/f[h][l];
F(j,l,n+1) f[i][j]-=f[h][j]*t;
f[i][l]=0;
}
}
F(i,h,n) if(fabs(f[i][n+1])>eps) return -1;
if(h<n+1) return n+1-h;
C(i,1,n) {
double tmp=f[i][n+1];
F(j,i+1,n) tmp-=ans[j]*f[i][j];
ans[i]=(tmp/f[i][i]);
}
n+=1;
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y),add(y,x);
d[x]+=1.0,d[y]+=1.0;
s[i]=x,ed[i]=y;
}
for (int i=1;i<n;i++)
{
f[i][i]=1.0;
for (int j=st[i];j;j=e[j].next)
if (e[j].to!=n)
f[i][e[j].to]=-1/d[e[j].to];
}
f[1][n]=1;
gauss();
for (int i=1;i<=m;i++)
E[i]=ans[s[i]]/d[s[i]]+ans[ed[i]]/d[ed[i]];
sort(E+1,E+m+1);
for (int i=1;i<=m;i++)
sum+=E[i]*(m-i+1.0);
printf("%.3lf",sum);
return 0;
}
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