noip模拟赛 解谜游戏

题目描述
LYK进了一家古董店，它很想买其中的一幅画。但它带的钱不够买这幅画。
幸运的是，老板正在研究一个问题，他表示如果LYK能帮他解出这个问题的话，就把这幅画送给它。
老板有一个n*m的矩阵，他想找一个和最大的子矩阵，这个子矩阵可以由四个参数x,y,x2,y2(1<=x<=x2<=n,1<=y<=y2<=m)来表示，表示一个左上角为(x,y)，右下角为(x2,y2)的矩阵。
为了让游戏更加有趣，老板给了一个常数P，他想将原来这个矩阵中恰好一个数变为P，使得这个矩阵的最大的子矩阵尽可能大。
老板想知道这个最大值是多少。
你能帮帮LYK吗？

输入格式(puzzle.in)
第一行三个数n,m,P。
接下来n行，每行m个数ai,j描述整个矩阵。

输出格式(puzzle.out)
输出一个数表示答案。

输入样例
3 3 3
-100 3 3
3 -4 3
3 3 3

输出样例
20

样例解释
改变左上角那个数。

数据范围
对于20%的数据n,m<=10。
对于40%的数据n,m<=25。
对于60%的数据n,m<=50。
对于80%的数据n,m<=100。
对于100%的数据1<=n,m<=300，|P|,|ai,j|<=1000。

分析：先考虑最最基本的一个问题：给你一个序列，让你选一个子序列使得和最大.这道题可以很容易地用dp来解决，设f[i]表示前i个中的最大值，f[i] = max{f[i - 1] + a[i],a[i]}.推广到二维要怎么做呢？我们可以固定当前矩阵的上边界l和下边界r，压缩成一维，a[i] = sum[r] - sum[l - 1],然后进行dp就可以了.如果我们要让一个数变成P要怎么做呢？

当前状态转移不下去了，常用的办法是加一维，f[i][0]表示到前i列没有修改元素的最大和，f[i][1]类同，转移也很显然,如果当前的状态是f[i][0],那么之前肯定也没有修改，所以f[i][0] = max{f[i-1][0] + sum[i],sum[i]},如果当前的状态是f[i][1],那么如果之前修改过了，第i列肯定是不能改了，否则就必须改，所以f[i][1] = max{f[i-1][1] + sum[i],sum[i] - minn + p,f[i-1][0] + sum[i] - minn + p},minn为第i列最小的一个数，因为我们要改肯定是改最小的一个数嘛.固定好上下边界递推一下就可以了.

不过注意到必须要修改一个元素的限制，如果上下边界正好包含了整个矩形，那么答案只有可能从f[m][1]得到，其它情况下就可以从f[k][0/1]得到，因为我们可以在选取的子矩形里面改，也可以在外面改.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int inf = 0x7ffffff;

int n, m, p, a[][], minn[], b[][], d[], f[][], ans = -inf;

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
    for (int i = ; i <= n; i++)
        for (int j = ; j <= m; j++)
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            b[i][j] = a[i][j];
            a[i][j] += a[i - ][j];
        }
    for (int i = ; i <= n; i++)
    {
        for (int j = ; j <= m; j++)
            minn[j] = b[i][j];
        for (int j = i; j <= n; j++)
        {
            for (int k = ; k <= m; k++)
            {
                minn[k] = min(minn[k], b[j][k]);
                d[k] = a[j][k] - a[i - ][k];
            }
            for (int k = ; k <= m; k++)
            {
                f[k][] = max(f[k - ][] + d[k], d[k]);
                f[k][] = max(max(f[k - ][] + d[k], d[k] - minn[k] + p), f[k - ][] + d[k] - minn[k] + p);
            }
            if (i ==  && j == n)
                ans = max(ans, f[m][]);
            else
                for (int k = ; k <= m; k++)
                    ans = max(ans, max(f[k][],f[k][]));
        }
    }
    printf("%d\n", ans);

    return ;
}