清北学堂模拟赛d3t3 c
分析:一开始拿到这道题真的是无从下手,暴力都很难打出来.但是基本的方向还是要有的,题目问的是方案数,dp不行就考虑数学方法.接下来比较难想.其实对于每一行或者每一列,我们任意打乱顺序其实对答案是没有影响的.那么我们按照高度从大到小对行和列进行排序,单独考虑所有高度相等的行和列,组成了一个L形,如果我们把所有的L形的方案数求出来最后乘起来就是答案了,关键就是怎么求它的方案数.
要求L形中满足每行每列最大高度不超过H的方案数很难求,因为不好保证最大高度,正难则反,先求出不满足的,但是不满足的也比较难求,我们就先求出有一行不满足的,一列不满足的,然后求出两行不满足的,两列不满足的,这其实就是一个容斥原理,处于限制的行和列由于取的数小于H,所以每一位能取H个数,而没有限制的可以取0~H,共H+1个数,那么方案数就出来了:H^(限制的面积) + (H+1)^(没有限制的面积)* (-1)^|S|,就像下面一个图:
蓝色部分没有限制,黑色部分有限制,黑色部分和蓝色部分组成了一个L形.
正难则反,如果求满足某某条件很难,就求出不满足某某条件的,如果还是很难,就分解一下,利用容斥原理来做.
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm> using namespace std; const int mod = 1e9 + ;
long long n, m,a[],b[],x,y;
long long ans = ,c[][]; void init()
{
c[][] = ;
for (int i = ; i <= ; i++)
{
c[i][] = ;
for (int j = ; j <= ; j++)
c[i][j] = (c[i - ][j] + c[i - ][j - ]) % mod;
}
} long long qpow(long long a, long long b)
{
long long res = ;
while (b)
{
if (b & )
res = (res * a) % mod;
b >>= ;
a = (a * a) % mod;
}
return res;
} long long cal(long long x, long long y, long long nx, long long ny, int p)
{
long long res = ;
for (long long i = ; i <= nx; i++)
for (long long j = ; j <= ny; j++)
{
long long temp = qpow(p, x * y - (x - i) * (y - j)) * qpow(p + , (x - i) * (y - j) - (x - nx) * (y - ny)) % mod * c[nx][i] % mod * c[ny][j] % mod;
if ((i + j) & )
res = ((res - temp) % mod + mod) % mod;
else
{
res += temp;
while (res >= mod)
res -= mod;
}
}
return res;
} int main()
{
scanf("%lld%lld", &n, &m);
for (int i = ; i <= n; i++)
{
long long x;
scanf("%lld", &x);
a[x]++;
}
for (int i = ; i <= m; i++)
{
long long x;
scanf("%lld", &x);
b[x]++;
}
init();
for (int i = ; i >= ; i--)
if (a[i] || b[i])
{
x += a[i];
y += b[i];
ans = ans * cal(x, y, a[i], b[i],i) % mod;
}
printf("%lld\n", ans); return ;
}
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