概率图模型(PGM) —— 贝叶斯网络(Bayesian Network)
概率图模型是图论与概率方法的结合产物。Probabilistic graphical models are a joint probability distribution defined over a graph,概率图模型是定义在一副图上的联合概率分布(joint probability distribution)。
图模型分为两种:
- 有向图(directed graphs):bayesian networks
- 无向图(undirected graphs):Markov random fields
1. 定义
贝叶斯网络定义:
- DAG(Directed Acyclic Graph):有向无环图;
- 结点 (X1,X2,…,Xn) 表示的是随机变量(random variables);
- 网络中的每一个结点 Xi,都有条件概率分布,P(Xi∣∣ParG(Xi))
- ParG(Xi):表示的是 Xi 在网络中的父节点;
- 贝叶斯网络最终刻画的是结点所代表的随机变量的联合概率密度(joint distribution)
P(X1,…,Xn)=∏iP(Xi∣∣ParG(Xi))
Probabilistic graphical models are a joint probability distribution defined over a graph,概率图模型是定义在一副图上的联合概率分布(joint probability distribution)。如下图所示:
也即此贝叶斯网络表示了如下的联合概率分布:
2. 贝叶斯网对应的“分布”
贝叶斯网络对应的“分布”是一种合法的概率分布(legal distribution),也即需满足
- Pi≥0:显然成立
∑Pi=1
需要证明,比如这样一个简单的例子,应用链式法则(chain rule),展开得:
∑D,I,G,S,LP(D,I,G,S,L)======∑D,I,G,S,LP(D)P(I)P(G|I,D)P(S|I)P(L|G)∑D,I,G,SP(D)P(I)P(G|I,D)P(S|I)∑LP(L|G)∑D,I,G,SP(D)P(I)P(G|I,D)P(S|I)⋅1∑D,I,GP(D)P(I)P(G|I,D)∑SP(S|I)1⋯1- ∑LP(L|S)=1,这是 CPD(conditional probability distribution)的性质(也即对条件概率分布的一行进行求和);
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