CF1303F 题解

题意

传送门

有一个 \(n\times m\) 的矩阵，初始全是 \(0\)。我们定义 \(a_{i,j}\) 表示矩阵中第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素。

如果两个格子有相邻边并且格子中的元素相同，我们就说它们是联通的。联通关系可以传递，也就是说整个矩阵被分成了若干个联通块。

你需要处理 \(q\) 次修改操作，第 \(i\) 次操作包含三个整数 \(x_i,y_i,c_i\)，表示将 \(a_{x_i,y_i}\) 替换为 \(c_i\)。每次修改结束后你需要求出这个矩阵当前有多少连通块。

\(1\le n,m\le 300,1\le q\le 2\times 10^6,1\le c_i\le \max(1000,\lceil\frac{2\times 10^6}{nm}\rceil),c_i\le c_{i+1}(i\in [1,q-1])\)

题解

动态图连通性板题，于是做完了

我们将一次修改操作（将 \(a_{x,y}\) 从 \(z\) 改为 \(w\)）分为两步考虑：在\(w\) 的导出子图中加入 \(a_{x,y}\)，在 \(z\) 的导出子图中删除 \(a_{x,y}\)。加入操作可以用并查集，但删除操作不好处理。但由于此题的特殊性质，\(z\) 一定小于 \(w\)（这里不考虑相等的情况）。我们考虑规避删除。

逆着做一遍。那么就是将 \(w\) 改为 \(z\)。此时，在 \(z\) 的导出子图中加入 \(a_{x,y}\) 增加的连通块个数与 上段操作中在 \(z\) 的导出子图中删除 \(a_{x,y}\) 增加的连通块个数互为相反数。正确性易证。于是此题得解。