【模板】动态 DP

luogu传送门。

最近学了一下动态dp，感觉没有想象的难。

动态DP

simple的DP是这样的：

给棵树，每个点给个权值，求一下最大权独立集。

动态DP是这样的：

给棵树，每个点给个权值还到处改，每次改的时候求一下最大权独立集。

---

题外话：

（$NOIP2018$保卫王国）

大佬：动态$dp$板子直接秒。

神仙：这个是什么让我想一想……倍增？（然后当场切掉）

除了大佬除了神仙除了我：敲暴力。

我：（看错题了爆蛋）

---

几个前置知识：

（1）重链剖分

树剖时选择子树点数最多的儿子作重儿子。

重剖有几个性质：

1.终点一定是叶子。（树剖通性）

2.重链剖分序上一条重链是一个连续的区间。（树剖通性）

3.任意一个点走到根经过的轻链不超过$logn$条。（重剖特性）

4.……

（2）矩阵

著名矩乘由于满足结合律可以用来加速递推/分治。

大佬们不知道咋想的就搞出了以下运算：

$$\begin{pmatrix}a00&a01\\a10&a11\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b00&b01\\b10&b11\end{pmatrix} $$

$$=\begin{pmatrix}max(a00+b00,a01+b10)&max(a00+b10,a01+b11)\\max(a10+b00,a11+b10)&max(a10+b01,a11+b11)\end{pmatrix}$$

这个东西竟然满足结合律……

我们可以用他去搞一些事情了。

---

树的最大权独立集：

设$f[u][0/1]$表示在点$u$不取/取的情况下点$u$子树内的最大权独立集的权值。

有$dp$如下：

$f[u][0]=\sum _{fa[v]=u} max(f[v][0],f[v][1])$

$f[u][1]=w[u] + \sum _{fa[v]=u} f[v][0]$

让轻重儿子分开讨论有：

$f[u][0]= max(f[son][0],f[son][1]) + \sum _{fa[v]=u,v!=son} max(f[v][0],f[v][1])$

$f[u][1]= f[son][0] +w[u]+\sum_{fa[v]=u,v!=son}f[v][0]$

设$g[u][0]=\sum _{fa[v]=u,v!=son} max(f[v][0],f[v][1]),g[u][1]=w[u]+\sum_{fa[v]=u,v!=son}f[v][0]$

写成上面矩阵的形式是这样的：

$f[u][0] = max(g[u][0]+f[son][0],g[u][0]+f[son][1])$

$f[u][1] = max(g[u][1]+f[son][0],-inf+f[son][1])$

就是$$\begin{pmatrix}f[son][0]&f[son][1]\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}g[u][0]&g[u][1]\\g[u][0]&-inf\end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix}f[u][0]&f[u][1]\end{pmatrix}$$

神奇。

考虑到重链剖分序重链上的点是按深度从浅到深排列的，我们应该这样（不然线段树左右要反着合并比较恶心）：

$$\begin{pmatrix}g[u][0]&g[u][0]\\g[u][1]&-inf\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}f[son][0]\\f[son][1]\end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix}f[u][0]\\f[u][1]\end{pmatrix}$$

对于每个点保留带$g$的矩阵，这样一个点的$f$矩阵就是重链上从该点的矩阵一直向下加，加到叶子结点。

区间加法用线段树平衡树等数据结构维护。

每次修改之后，由于只会修改当前点到根路径上的$f$，我们可以爆跳树链。

修改点权，当前树链上只会修改当前点的$g[1]$。

树链之间转移时，考虑轻儿子的$f$对父节点$g$的影响。

我们可以求出修改前后链顶的$f$值，然后扔到原来方程里更新父亲的$g$。

重复上述操作一直更新到根。

由于重剖$logn$条轻链，时间复杂度$O(nlog^2n)$。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100050;
const ll Inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
    T f = 1,c = 0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){c=c*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x = f*c;
}
ll F[N][2],G[N][2],k[N];
int n,m,hed[N],cnt;
struct EG
{
    int to,nxt;
}e[N<<1];
void ae(int f,int t)
{
    e[++cnt].to = t;
    e[cnt].nxt = hed[f];
    hed[f] = cnt;
}
int dep[N],siz[N],top[N],pot[N],fa[N],son[N],tin[N],pla[N],tim;
struct mt
{
    ll s[2][2];
    mt(){memset(s,0,sizeof(s));}
    mt(ll g0,ll g1){s[0][0]=s[0][1]=g0,s[1][0]=g1,s[1][1]=-Inf;}
    mt operator + (const mt&a)const
    {
        mt ret;
        ret.s[0][0]=max(s[0][0]+a.s[0][0],s[0][1]+a.s[1][0]);
        ret.s[0][1]=max(s[0][0]+a.s[0][1],s[0][1]+a.s[1][1]);
        ret.s[1][0]=max(s[1][0]+a.s[0][0],s[1][1]+a.s[1][0]);
        ret.s[1][1]=max(s[1][0]+a.s[0][1],s[1][1]+a.s[1][1]);
        return ret;
    }
}t[N];
struct segtree
{
    mt w[N<<2];
    void update(int u){w[u]=w[u<<1]+w[u<<1|1];}
    void build(int l,int r,int u)
    {
        if(l==r){w[u]=t[pla[l]]=mt(G[pla[l]][0],G[pla[l]][1]);return ;}
        int mid = (l+r)>>1;
        build(l,mid,u<<1);
        build(mid+1,r,u<<1|1);
        update(u);
    }
    void insert(int l,int r,int u,int qx)
    {
        if(l==r){w[u]=t[pla[l]];return ;}
        int mid = (l+r)>>1;
        if(qx<=mid)insert(l,mid,u<<1,qx);
        else insert(mid+1,r,u<<1|1,qx);
        update(u);
    }
    mt query(int l,int r,int u,int ql,int qr)
    {
        if(l==ql&&r==qr)return w[u];
        int mid = (l+r)>>1;
        if(qr<=mid)return query(l,mid,u<<1,ql,qr);
        else if(ql>mid)return query(mid+1,r,u<<1|1,ql,qr);
        else return query(l,mid,u<<1,ql,mid)+query(mid+1,r,u<<1|1,mid+1,qr);
    }
}tr;
void dfs0(int u,int f)
{
    fa[u] = f,siz[u] = 1,dep[u] = dep[f]+1;
    for(int j=hed[u];j;j=e[j].nxt)
    {
        int to = e[j].to;
        if(to==f)continue;
        dfs0(to,u);siz[u]+=siz[to];
        if(siz[to]>siz[son[u]])son[u]=to;
    }
}
void dfs1(int u,int Top)
{
    top[u] = Top,pot[u] = u,tin[u] = ++tim,pla[tim] = u;
    if(son[u])dfs1(son[u],Top),pot[u]=pot[son[u]];
    for(int j=hed[u];j;j=e[j].nxt)
    {
        int to = e[j].to;
        if(to!=fa[u]&&to!=son[u])
            dfs1(to,to);
    }
}
void dp(int u)
{
    F[u][0]=0,F[u][1]=k[u];
    for(int j=hed[u];j;j=e[j].nxt)
    {
        int to = e[j].to;
        if(to==fa[u])continue;
        dp(to);
        F[u][0]+=max(F[to][0],F[to][1]);
        F[u][1]+=F[to][0];
    }
    G[u][0] = F[u][0] - max(F[son[u]][0],F[son[u]][1]);
    G[u][1] = F[u][1] - F[son[u]][0];
}
mt get_mt(int x){return tr.query(1,n,1,tin[top[x]],tin[pot[x]]);}
void chg(int x,int y)
{
    t[x].s[1][0] += y-k[x],k[x] = y;
    while(x)
    {
        mt m0 = get_mt(x);
        tr.insert(1,n,1,tin[x]);
        mt m1 = get_mt(x);
        x = fa[top[x]];
        if(!x)break;
        t[x].s[0][0]+=max(m1.s[0][0],m1.s[1][0])-max(m0.s[0][0],m0.s[1][0]);
        t[x].s[0][1]=t[x].s[0][0];
        t[x].s[1][0]+=m1.s[0][0]-m0.s[0][0];
    }
}
int main()
{
//    freopen("tt.in","r",stdin);
    read(n),read(m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        read(k[i]);
    for(int u,v,i=1;i<n;i++)
        read(u),read(v),ae(u,v),ae(v,u);
    dfs0(1,0),dfs1(1,1);
    dp(1);tr.build(1,n,1);
    for(int x,y,i=1;i<=m;i++)
    {
        read(x),read(y);
        chg(x,y);mt now = get_mt(1);
        printf("%lld\n",max(now.s[0][0],now.s[1][0]));
    }
    return 0;
}

附保卫王国代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100050;
const ll inf = 1e16;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
    T f = 1,c = 0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){c=c*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x = f*c;
}
int n,m,hed[N],cnt;
ll p[N],F[N][2],G[N][2];
char op[10];
struct EG
{
    int to,nxt;
}e[N<<1];
void ae(int f,int t)
{
    e[++cnt].to = t;
    e[cnt].nxt = hed[f];
    hed[f] = cnt;
}
int dep[N],siz[N],fa[N],son[N],top[N],pot[N],tin[N],pla[N],tim;
void dfs0(int u,int f)
{
    fa[u] = f,siz[u] = 1,dep[u] = dep[f]+1;
    for(int j=hed[u];j;j=e[j].nxt)
    {
        int to = e[j].to;
        if(to==f)continue;
        dfs0(to,u);
        siz[u]+=siz[to];
        if(siz[to]>siz[son[u]])son[u]=to;
    }
}
void dfs1(int u,int Top)
{
    top[u] = Top,tin[u] = ++tim,pla[tim] = u;
    if(son[u])dfs1(son[u],Top),pot[u]=pot[son[u]];
    else pot[u] = u;
    for(int j=hed[u];j;j=e[j].nxt)
    {
        int to = e[j].to;
        if(to!=fa[u]&&to!=son[u])
            dfs1(to,to);
    }
}
void dp(int u)
{
    F[u][0] = 0,F[u][1] = p[u];
    for(int j=hed[u];j;j=e[j].nxt)
    {
        int to = e[j].to;
        if(to==fa[u])continue;
        dp(to);
        F[u][0] += F[to][1];
        F[u][1] += min(F[to][0],F[to][1]);
    }
    G[u][0] = F[u][0] - F[son[u]][1];
    G[u][1] = F[u][1] - min(F[son[u]][0],F[son[u]][1]);
}
struct mt
{
    ll s[2][2];
    mt(){memset(s,0,sizeof(s));}
    mt(ll g0,ll g1){s[0][0]=inf,s[0][1]=g0,s[1][0]=s[1][1]=g1;}
    mt operator + (const mt&a)const
    {
        mt ret;
        ret.s[0][0]=min(s[0][0]+a.s[0][0],s[0][1]+a.s[1][0]);
        ret.s[0][1]=min(s[0][0]+a.s[0][1],s[0][1]+a.s[1][1]);
        ret.s[1][0]=min(s[1][0]+a.s[0][0],s[1][1]+a.s[1][0]);
        ret.s[1][1]=min(s[1][0]+a.s[0][1],s[1][1]+a.s[1][1]);
        return ret;
    }
}t[N];
struct segtree
{
    mt w[N<<2];
    void update(int u){w[u]=w[u<<1]+w[u<<1|1];}
    void build(int l,int r,int u)
    {
        if(l==r){w[u]=t[pla[l]]=mt(G[pla[l]][0],G[pla[l]][1]);return ;}
        int mid = (l+r)>>1;
        build(l,mid,u<<1),build(mid+1,r,u<<1|1);
        update(u);
    }
    void insert(int l,int r,int u,int qx)
    {
        if(l==r){w[u]=t[pla[l]];return ;}
        int mid = (l+r)>>1;
        if(qx<=mid)insert(l,mid,u<<1,qx);
        else insert(mid+1,r,u<<1|1,qx);
        update(u);
    }
    mt query(int l,int r,int u,int ql,int qr)
    {
        if(l==ql&&r==qr)return w[u];
        int mid = (l+r)>>1;
        if(qr<=mid)return query(l,mid,u<<1,ql,qr);
        else if(ql>mid)return query(mid+1,r,u<<1|1,ql,qr);
        else return query(l,mid,u<<1,ql,mid)+query(mid+1,r,u<<1|1,mid+1,qr);
    }
}tr;
mt get_mt(int x){return tr.query(1,n,1,tin[top[x]],tin[pot[x]]);}
void chg(int a,int x)
{
    if(x==1)t[a].s[1][0]-=inf;
    else t[a].s[1][0]+=inf;
    t[a].s[1][1]=t[a].s[1][0];
}
void upd(int x)
{
    while(x)
    {
        mt m0 = get_mt(x);
        tr.insert(1,n,1,tin[x]);
        mt m1 = get_mt(x);
        x = fa[top[x]];
        if(!x)break;
        t[x].s[0][1]+=m1.s[1][1]-m0.s[1][1];
        t[x].s[1][0]+=min(m1.s[0][1],m1.s[1][1])-min(m0.s[0][1],m0.s[1][1]);
        t[x].s[1][1]=t[x].s[1][0];
    }
}
int main()
{
//    freopen("tt.in","r",stdin);
    read(n),read(m);scanf("%s",op);
    for(int i=1;i<=n;i++)read(p[i]);
    for(int u,v,i=1;i<n;i++)read(u),read(v),ae(u,v),ae(v,u);
    dfs0(1,0),dfs1(1,1);dp(1);tr.build(1,n,1);
    for(int a,x,b,y,i=1;i<=m;i++)
    {
        read(a),read(x),read(b),read(y);
        if((fa[a]==b||fa[b]==a)&&!x&&!y){puts("-1");continue;}
        chg(a,x);
        upd(a);
        chg(b,y);
        upd(b);
        mt M = get_mt(1);
        ll ans = min(M.s[0][1],M.s[1][1]);
        ans+=(x+y)*inf;
        printf("%lld\n",ans);
        chg(a,!x);upd(a);
        chg(b,!y);upd(b);
    }
    return 0;
}

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