素数算法（Prime Num Algorithm）

数学是科学的皇后，而素数可以说是数学的最为核心的概念之一。围绕素数产生了很多伟大的故事，最为著名莫过于哥德巴赫猜想、素数定理和黎曼猜想（有趣的是，自牛顿以来的三个最伟大数学家，欧拉、高斯和黎曼，分别跟这些问题有着深刻的渊源）。我写这篇文章不是要探讨和解决这些伟大猜想和定理，而是回归问题本身，用计算机判定一个素数，以及求取特定正整数值下所包含的所有素数。这篇文章，算是自己对素数问题思考的一次总结。

先说一下素数的定义：

素数也叫质数，是只能被 \(1\) 和其本身所能整除的非\(1\)正整数。

第一个素数是2，它也是唯一一个偶素数。100以内素数列为：

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

有了素数的定义，我们通过计算机程序来解决以下问题。

给定一个正整数\(n\), 判定该数是否为素数。
给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列。
给定两个正整数 \(n_1\), \(n_2\)(\(n_1 \le n_2\))，求取 \(n_1\)到 \(n_2\)之间其所包含的素数列。
从\(2\)开始计算大素数。

解决上述问题的核心算法都是埃拉托斯特尼筛法,简称埃氏筛选法。这个方法的内容即每当我们得到一个素数后，我们即将这个素数的所有倍数（\(2\)倍以上）的整数删除，重复执行该过程，最后余下来的一定是素数。

1. 给定一个正整数\(n\), 判定该数是否为素数

1.1 初始算法

1.1.1 算法

判定一个整数\(n\)是否为素数，我们只需要判定该整数是否不能被小于它的非\(1\)整数所整除。

1.1.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import com.google.common.collect.Lists;

import java.util.List;

/**

 * 求素数算法

 * @author lunyu

 * @since 2022/7/14

 */

public class PrimeNumMain {

    public static void main(String[] args) {

        // 卢卡斯数列

        List<Integer> nums = Lists.newArrayList(1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123);

        for (Integer num : nums) {

            boolean isPrime = isPrime(num);

            System.out.println("整数：" + num + "是否为素数：" + isPrime);

        }

    }

    /**

   * 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数

   */

    private static boolean isPrime(int num){

        if (1 >= num){

            return false;

        }

        for (int i = 2; i < num; i++){

            if (0 == num % i){

                return false;

            }

        }

        return true;

    }

}

1.1.3 算法复杂度

时间复杂度	空间复杂度
\(O(n)\)	\(O(1)\)

1.2 算法优化1

因为\(2\)是唯一的一个偶素数，因此，我们可以在判定时将\(2\)的情况特殊处理，并且每次只需判定小于该数的奇数的情况。

1.2.1 算法

判定一个整数\(n\)是否为素数，我们只需要判定

该数是是否是\(2\)。
在该数不为\(2\)的情形下，该数是否不被\(2\)或小于它的非\(1\)奇数所整除。

1.2.2 代码

/**

   * 经过优化的给定一个正整数n, 判定该数是否为素数

   */

private static boolean isPrimeOptimized1(int num){

    if (1 >= num){

        return false;

    }

    // 判定是否等于2

    if (2 == num){

        return true;

    }

    // 判定能否被2整除

    if (0 == num % 2){

        return false;

    }

    // 判定能否能被小于自身且大于等于3的奇数整除

    for (int i = 3; i < num;){

        if (0 == num % i){

            return false;

        }

        i += 2;

    }

    return true;

}

1.2.3 算法复杂度

时间复杂度	空间复杂度
\(O(\frac{n}{2})\)	\(O(1)\)

1.3 算法优化2

实际上，判定一个整数\(n\)是否为素数，我们可以缩减判定的范围，将之前的全量比较，变更为，判定该整数是否不能被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)整数所整除。

直观一点，即自然数\(n\)，能否不被整数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in Z_+\}\)所整除。

这个优化判定是可以证明的。我们来给出证明。

1.3.1 证明

设有正整数\(n\),它不能被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)整数所整除，我们证明它一定是一个素数。

我们用反证法。

假设它是一个合数，那么它一定可以表示成两个非\(1\)整数\(z_1 \cdot z_2\)乘积的形式。

我们又已知，它不能被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)整数所整除，因此无论是\(z_1\)还是\(z_2\)，都不可能包含\(1\)到\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)之间的素因子，否则与\(n\)不能被1到（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)整数所整除矛盾。

于是，无论是\(z_1\)还是\(z_2\)都必包含大于\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)的素因子，这两个素因子分别记作\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + k_1\),\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + k_2\)（\(k_1,k_2 \ge 1\)）。

于是,

\[\begin{align}
z_1 \cdot z_2 &\ge (\lfloor \sqrt{n} \rfloor + k_1)(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + k_2) \\
& \ge (\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1)(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1) \\
& = (\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1)^2 \\
& > n
\end{align}
\]

为什么\((\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1)^2 \gt n\)，因为\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1 > \sqrt{n}\)。这里将\(\sqrt{n}\)取值为任意一正实数\(r\)，我们可以得知任意正实数\(r\)的向下取整\(\lfloor r \rfloor\)满足：

\[\left\{
\begin{aligned}
\lfloor r \rfloor & = r & , if \ r \in Z_+ \\
\lfloor r \rfloor & \gt r-1 & , if\ r \notin Z_+
\end{aligned}
\right.
\]

于是，

\[\left\{
\begin{aligned}
\lfloor r \rfloor + 1 = r + 1 & \gt r & , if \ r \in Z_+ \\
\lfloor r \rfloor + 1 \gt (r-1) + 1 & = r & , if\ r \notin Z_+
\end{aligned}
\right.
\]

证毕。

1.3.2 算法

判定一个整数\(n\)是否为素数，只需判定该整数是否不能被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)整数所整除。

1.3.3 代码

/**

   * 经过优化的给定一个正整数n, 判定该数是否为素数

   */

private static boolean isPrimeOptimized2(int num){

    if (1 >= num){

      return false;

    }

    // 整数num开方向下取整

    double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));

    for (int i = 2; i <= sqrtFloorNum; i++){

        if (0 == num % i){

            return false;

        }

    }

    return true;

}

1.3.4 算法复杂度

时间复杂度	空间复杂度
\(O(n^{\frac{1}{2}})\)	\(O(1)\)

1.4 算法优化结合

我们可以将1.2 算法优化1和1.3 算法优化2结合起来，形成一个更优算法。

1.4.1 算法

判定一个整数\(n\)是否为素数，我们只需要判定

该数是是否是\(2\)。
在该数不为\(2\)的情形下，该数是否不被以下数所整除：
- 不被\(2\)整除，
- 不被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)奇数所整除。

1.4.2 代码

/**

 * 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数

 */

private static boolean isPrimeOptimized3(int num){

    if (1 >= num){

        return false;

    }

    if (2 == num){

        return true;

    }

    if (0 == num % 2){

        return false;

    }

    // 整数num开方向下取整

    double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));

    for (int i = 3; i <= sqrtFloorNum;){

        if (0 == num % i){

            return false;

        }

        i += 2;

    }

    return true;

}

1.4.3 算法复杂度

时间复杂度	空间复杂度
\(O(\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2}})\)	\(O(1)\)

2. 给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列

易知，该问题即是上一问题的序列化，也即将上一问题在外层再套一层for循环，平铺展开后的问题。

于是，我们先给出一个初始算法。

2.1 初始算法

2.1.1 算法

给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列, 即

对从\(2\)到\(n\)的每一个整数，我们依次判定该数是否为素数。如果为素数，我们将该数存储起来得到的素数列。

2.1.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import java.util.ArrayList;

import java.util.List;

/**

 * 求素数算法

 * @author lunyu

 * @since 2022/7/14

 */

public class PrimeNumMain {

    public static void main(String[] args) {

        int n = 300;

        List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();

        getPrimeNums(n, primeNums);

        // TODO: 结果输出

        System.out.println(n + "以内的素数为：");

        for (Integer primeNum : primeNums) {

            System.out.print(primeNum + " ");

        }

    }

    /**

   * 获得n以内（含n）的素数列

   * @param n

   * @param primeNums

   */

    private static void getPrimeNums(int n, List<Integer> primeNums) {

        for (int i = 2; i <= n; i++){

            boolean isPrime = isPrime(i);

            if (isPrime){

                primeNums.add(i);

            }

        }

    }

    /**

    * 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数

    */

    private static boolean isPrime(int num){

        if (1 >= num){

            return false;

        }

        for (int i = 2; i < num; i++){

            if (0 == num % i){

                return false;

            }

        }

        return true;

    }

}

2.1.3 算法复杂度

因为多了外层的一层for循环，而内层判定一个整数是否为素数的算法我们用的初始算法(isPrime(int num))，因此其时间复杂度为\(O(n \cdot n)\)也即\(O(n^2)\)。

而空间复杂度，因为我们有素数列的采集动作，因此这里空间复杂度不是\(O(1)\)，而是\(O(n/{\ln n})\)。这里的值取自素数定理，即一个自然数\(x\)以内的素数个数\(\pi(x)\)，其渐进估计为\(\pi(x) \sim x/\ln x\)。

时间复杂度	空间复杂度
\(O(n^2)\)	\(O(n/{\ln n})\)

2.2 算法优化1

这里算法优化我们分为2部分，第一部分是判定单个整数是否素数的优化；第2部分，我们对外层循环进行优化。

第一部分，我们取章节1.4 算法优化结合给出最终优化方案。

第二部分，我们对for循环内的数据进行一次简单优化。同样易知，\(n\)以内的素数除\(2\)意外都是奇素数，因此这里我们可以将外层for循环判定的数据也减半。

2.2.1 算法

给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列, 即

对\(2\)和从\(3\)到\(n\)的每一个奇数，我们依次判定该数是否为素数 (判定该数是否为素数，取自1.4.1 算法优化结合-算法)。

如果为素数，我们将该数存储起来得到的素数列。

2.2.2 代码

public static void main(String[] args) {

    int n = 300;

    List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();

    getPrimeNumsOptimized1(n, primeNums);

    // TODO: 结果输出

    System.out.println(n + "以内的素数为：");

    for (Integer primeNum : primeNums) {

        System.out.print(primeNum + " ");

    }

}

/**

 * 获得n以内（含n）的素数列

 * @param n

 * @param primeNums

 */

private static void getPrimeNumsOptimized1(int n, List<Integer> primeNums) {

    if (1 >= n){

        return;

    }

    // 如果n >= 2, 则n以内的素数默认含有2

    primeNums.add(2);

    // 对大于等3的奇数判定

    for (int i = 3; i <= n;){

        boolean isPrime = isPrimeOptimized3(i);

        if (isPrime){

            primeNums.add(i);

        }

        i += 2;

    }

}

/**

 * 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数

 */

private static boolean isPrimeOptimized3(int num){

    if (1 >= num){

        return false;

    }

    if (2 == num){

        return true;

    }

    if (0 == num % 2){

        return false;

    }

    // 整数num开方向下取整

    double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));

    for (int i = 3; i <= sqrtFloorNum;){

        if (0 == num % i){

            return false;

        }

        i += 2;

    }

    return true;

}

这里外循环针对的是大于等于\(3\)的奇数，因此，内层方法判断该数小于等于\(1\) 、是否等于\(2\)和是否能被\(2\)整除的判定就显得多余了，这里可以删掉。变更为

public static void main(String[] args) {

    int n = 300;

    List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();

    getPrimeNumsOptimized1(n, primeNums);

    // TODO: 结果输出

    System.out.println(n + "以内的素数为：");

    for (Integer primeNum : primeNums) {

        System.out.print(primeNum + " ");

    }

}

/**

 * 获得n以内（含n）的素数列

 * @param n

 * @param primeNums

 */

private static void getPrimeNumsOptimized1(int n, List<Integer> primeNums) {

    if (1 >= n){

        return;

    }

    // 如果n >= 2, 则n以内的素数默认含有2

    primeNums.add(2);

    // 对大于等3的奇数判定

    for (int i = 3; i <= n;){

        boolean isPrime = isPrimeOptimized3(i);

        if (isPrime){

            primeNums.add(i);

        }

        i += 2;

    }

}

/**

 * 给定一个大于等于3的奇数n, 判定该数是否为素数

 */

private static boolean isPrimeOptimized3(int num){

    // 整数num开方向下取整

    double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));

    for (int i = 3; i <= sqrtFloorNum;){

        if (0 == num % i){

            return false;

        }

        i += 2;

    }

    return true;

}

2.2.3 算法复杂度

易知外层的for循环其时间复杂度为\(O(\frac{1}{2}n)\),内层时间复杂度为\(O(\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2}})\)，因此总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{4} n^{\frac{3}{2}})\)。

空间复杂度不变，仍为\(O(n/{\ln n})\)。

时间复杂度	空间复杂度
\(O(\frac{1}{4} n^{\frac{3}{2}})\)	\(O(n/{\ln n})\)

2.3 算法优化2

1.3 算法优化2中，判定一个整数是否为素数，即判定该数是否不能被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)整数所整除。

这个地方的判定，我们可以进一步优化为，判定一个整数是否为素数，即判定该数是否不能被其开方后的整数向下取整（\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）以内（含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)）的非\(1\)素数所整除。

直观一点，即自然数\(n\)，能否不被素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)所整除。

证明略，同1.3.1 算法优化2-证明。

有了以上优化点，我们还缺少素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)，幸运的是，我们的目标“给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列”即隐含的包含该信息，也即殊途同归，目标基本一致。有了这些条件，我们就可以对2.1 初始算法进行一定的优化。

2.3.1 算法

给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列, 即

对从\(2\)到\(n\)的每一个整数，我们依次判定该数是否为素数。如果为素数，我们将该数存储起来得到的素数列。

判定是否为素数的法则为，该数能否不被素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)所整除。

素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)，在计算过程中得到。

2.3.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import java.util.ArrayList;

import java.util.List;

import java.util.stream.Collectors;

/**

 * 求素数算法

 * @author lunyu

 * @since 2022/7/14

 */

public class PrimeNumMain {

    public static void main(String[] args) {

        int n = 300;

        List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();

        getPrimeNumsOptimized2(n, primeNums);

        // TODO: 结果输出

        System.out.println(n + "以内的素数为：");

        for (Integer primeNum : primeNums) {

            System.out.print(primeNum + " ");

        }

    }

    /**

     * 获得n以内（含n）的素数列

     * @param n

     * @param primeNums

     */

    private static void getPrimeNumsOptimized2(int n, List<Integer> primeNums) {

        if (1 >= n){

            return;

        }

        for (int i = 2; i <= n; i++){

            boolean isPrime = isPrimeOptimized4(i, primeNums);

            if (isPrime){

                primeNums.add(i);

            }

        }

    }

    /**

     *  判定是否为素数

     */

    private static boolean isPrimeOptimized4(int num, List<Integer> primeNums) {

        if (1 >= num){

            return false;

        }

        // 整数num开方向下取整

        double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));

        // 判定能否被素数列整数

        for (Integer primeNum : primeNums) {

            if (primeNum > sqrtFloorNum){

                break;

            }

            if (0 == num % primeNum){

                return false;

            }

        }

        return true;

    }

}

这里外循环针对的是大于等于\(3\)的奇数，因此，内层方法判断该数小于等于\(1\) 就显得多余了，这里可以删掉。变更为

 /**

  *  判定是否为素数

  */

private static boolean isPrimeOptimized4(int num, List<Integer> primeNums) {

    // 整数num开方向下取整

    double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));

    for (Integer primeNum : primeNums) {

        if (primeNum > sqrtFloorNum){

            break;

        }

        if (0 == num % primeNum){

            return false;

        }

    }

    return true;

}

2.3.3 算法复杂度

易知，外层的for循环其时间复杂度为\(O(n)\)；内层, 遍历素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)的时间复杂度为\(O(n^{\frac{1}{2}}/\ln n^{\frac{1}{2}}) = O(\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}/\ln n)\),因此总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{2}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\)。

获得素数列，其空间复杂度为\(O(n/{\ln n})\)。

时间复杂度	空间复杂度
\(O(\frac{1}{2}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\)	\(O(n /\ln n)\)

2.4 算法优化结合

我们可以将2.2 算法优化1和2.3 算法优化2结合起来，形成一个更优算法。

2.4.1 算法

给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列, 即

对\(2\)和从\(3\)到\(n\)的每一个奇数，我们依次判定该数是否为素数 (判定该数是否为素数，取自2.3.1 算法优化2-算法)。

如果为素数，我们将该数存储起来得到的素数列。

2.4.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import java.util.ArrayList;

import java.util.List;

import java.util.stream.Collectors;

/**

 * 求素数算法

 * @author lunyu

 * @since 2022/7/14

 */

public class PrimeNumMain {

    public static void main(String[] args) {

        int n = 300;

        List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();

        getPrimeNumsOptimized4(n, primeNums);

        // TODO: 结果输出

        System.out.println(n + "以内的素数为：");

        for (Integer primeNum : primeNums) {

            System.out.print(primeNum + " ");

        }

    }

    /**

     * 获得n以内（含n）的素数列

     * @param n

     * @param primeNums

     */

    private static void getPrimeNumsOptimized4(int n, List<Integer> primeNums) {

        if (1 >= n){

            return;

        }

        // 如果n >= 2, 则n以内的素数默认含有2

        primeNums.add(2);

        // 对大于等3的奇数判定

        for (int i = 3; i <= n;){

            boolean isPrime = isPrimeOptimized4(i, primeNums);

            if (isPrime){

                primeNums.add(i);

            }

            i += 2;

        }

    }

    /**

     *  判定是否为素数

     */

    private static boolean isPrimeOptimized4(int num, List<Integer> primeNums) {

        // 整数num开方向下取整

        double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));

        for (Integer primeNum : primeNums) {

            if (primeNum > sqrtFloorNum){

                break;

            }

            if (0 == num % primeNum){

                return false;

            }

        }

        return true;

    }

}

2.4.3 算法复杂度

易知，外层的for循环其时间复杂度为\(O(\frac{n}{2})\)；内层, 遍历素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)的时间复杂度为\(O(n^{\frac{1}{2}}/\ln n^{\frac{1}{2}}) = O(\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}/\ln n)\),因此总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{4}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\)。

获得素数列，其空间复杂度为\(O(n/{\ln n})\)。

时间复杂度	空间复杂度
\(O(\frac{1}{4}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\)	\(O(n/{\ln n})\)

3. 给定两个正整数 \(n_1\), \(n_2\)(\(n_1 \le n_2\))，求取 \(n_1\)到 \(n_2\)之间其所包含的素数列

这里有两种方式可以解决问题：

第一种对\(n_1\)到 \(n_2\)之间整数，我们依次判定是否为素数，如果为素数，我们将它们采集起来得到素数列即为所求。

第二种，我们先求出小于等于\(n_2\)的所有素数列，再将该素数列中介于\(n_1\), \(n_2\)的素数列（\(\{x | n_1 \le x \le n_2, x \in P_+ \}\)）取出即为所求。

3.1 算法1

为了减少篇幅，这里直接使用1.4 算法优化结合中的算法，而不从头开始逐步优化。

3.1.1 算法

给定两个正整数 \(n_1\), \(n_2\)(\(n_1 \le n_2\))，求取 \(n_1\)到 \(n_2\)之间其所包含的素数列，即

对\(n_1\)到 \(n_2\)之间整数，我们依次判定是否为素数，如果为素数，我们将它们采集起来得到素数列即为所求。

判定素数算法为1.4.1 算法。

3.1.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import java.util.ArrayList;

import java.util.List;

/**

 * 求素数算法

 * @author lunyu

 * @since 2022/7/14

 */

public class PrimeNumMain {

    public static void main(String[] args) {

        int n1 = 100, n2 = 200;

        List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();

        for (int i = n1; i <= n2; i++) {

            boolean isPrime = isPrimeOptimized3(i);

            if (isPrime){

                primeNums.add(i);

            }

        }

        // TODO: 结果输出

        System.out.println("整数" + n1 +  ", " + n2 + "之间的素数为：");

        for (Integer primeNum : primeNums) {

            System.out.print(primeNum + " ");

        }

    }

    /**

     * 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数

     */

    private static boolean isPrimeOptimized3(int num){

        if (1 >= num){

            return false;

        }

        if (2 == num){

            return true;

        }

        if (0 == num % 2){

            return false;

        }

        // 整数num开方向下取整

        double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));

        for (int i = 3; i <= sqrtFloorNum;){

            if (0 == num % i){

                return false;

            }

            i += 2;

        }

        return true;

    }

}

3.1.3 算法复杂度

易知外层循环时间复杂度为\(O(n_2-n_1)\)，内层循环时间复杂度是\(O(\frac{1}{2} n_2^{\frac{1}{2}})\)，于是总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{2} n_2^{\frac{1}{2}}(n_2-n_1))\)。

因为有素数列的采集动作，因此这里空间复杂度是\(O(n_2/{\ln n_2} - n_1/{\ln n_1})\)。

时间复杂度	空间复杂度
\(O(\frac{1}{2} n_2^{\frac{1}{2}}(n_2-n_1))\)	\(O(n_2/{\ln n_2} - n_1/{\ln n_1})\)

注：上述算法还能再进一步优化，在外层循环中，我们处理好\(n_1\)，\(n_2\)可能存在的\(=2\)这个特殊情况后，其中的循环变量，只取介于\(n_1\)到\(n_2\)的奇数进行判定，这样时间复杂度可减半，变为\(O(\frac{1}{4} n_2^{\frac{1}{2}}(n_2-n_1))\)。

3.2 算法2

同样为了减少篇幅，我们直接使用2.4 算法优化结合中的算法，而不从头开始逐步优化。

3.2.1 算法

给定两个正整数 \(n_1\), \(n_2\)(\(n_1 \le n_2\))，求取 \(n_1\)到 \(n_2\)之间其所包含的素数列，即

先求出小于等于\(n_2\)的所有素数列，再将介于\(n_1\)到 \(n_2\)之间素数取出即为所求。

求出小于等于\(n_2\)的所有素数列算法取自2.4.1 算法

3.2.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import java.util.ArrayList;

import java.util.List;

import java.util.stream.Collectors;

/**

 * 求素数算法

 * @author lunyu

 * @since 2022/7/14

 */

public class PrimeNumMain {

    public static void main(String[] args) {

        int n1 = 100, n2 = 200;

        List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();

        getPrimeNumsOptimized2(n2, primeNums);

        primeNums = primeNums.stream().filter(e -> e.intValue() >= n1)

            .collect(Collectors.toList());

        // TODO: 结果输出

        System.out.println("整数" + n1 +  ", " + n2 + "之间的素数为：");

        for (Integer primeNum : primeNums) {

            System.out.print(primeNum + " ");

        }

    }

    /**

     * 获得n以内（含n）的素数列

     * @param n

     * @param primeNums

     */

    private static void getPrimeNumsOptimized2(int n, List<Integer> primeNums) {

        if (1 >= n){

            return;

        }

        // 如果n >= 2, 则n以内的素数默认含有2

        primeNums.add(2);

        // 对大于等3的奇数判定

        for (int i = 3; i <= n;){

            if (1 >= n){

                return;

            }

            boolean isPrime = isPrimeOptimized4(i, primeNums);

            if (isPrime){

                primeNums.add(i);

            }

            i += 2;

        }

    }

    /**

     *  判定是否为素数

     */

    private static boolean isPrimeOptimized4(int num, List<Integer> primeNums) {

        // 整数num开方向下取整

        double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));

        for (Integer primeNum : primeNums) {

            if (primeNum > sqrtFloorNum){

                break;

            }

            if (0 == num % primeNum){

                return false;

            }

        }

        return true;

    }

}

3.2.3 算法复杂度

易知，外层的for循环其时间复杂度为\(O(\frac{n_2}{2})\)；内层, 遍历素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)的时间复杂度为\(O(n_2^{\frac{1}{2}}/\ln n_2^{\frac{1}{2}}) = O(\frac{1}{2}n_2^{\frac{1}{2}}/\ln n_2)\),因此总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{4}n_2^{\frac{3}{2}}/\ln n_2)\)。

获得素数列，其空间复杂度为\(O(n_2/{\ln n_2})\)，获得介于 \(n_1\), \(n_2\)的素数列，其空间复杂度为\(O(n_2/{\ln n_2} - n_1/{\ln n_1})\)，于是总的空间复杂度为\(O(2n_2/{\ln n_2} - n_1/{\ln n_1})\)。

时间复杂度	空间复杂度
\(O(\frac{1}{4}n_2^{\frac{3}{2}}/\ln n_2)\)	\(O(2n_2/{\ln n_2} - n_1/{\ln n_1})\)

4. 从\(2\)开始计算大素数

从计算机诞生以来，计算超大素数就成为了可能。目前最大的已知素数为\((2^{82,589,933}-1)\)（来自网络），足有\(2500\)万位。计算大素数、超大素数可以用来验证很多有关素数的问题。

本文即从算法可行的角度，从\(2\)开始来计算大素数，并对计算过程进行一定的优化。

4.1 算法1

我们怎么计算大素数呢？这里我要反其道而行之。先算一部分，然后再算一部分，最后算到我们想要的数为止。说的太含混了，下面以例子进行说明。

首先，我们先获取到素数\(2\)，构成初始素数列\(\{2\}\)。我们取其中最大的素数，即\(2\)。我们知道\(2^2=4\)，于是，我们可以得到大于\(2\)且小于\(2^2\)的奇数列\(\{3\}\) 。我们判定这个数列中不能被初始素数列\(\{2\}\)整除的数，得到数列\(\{3\}\) 。我们将初始素数列\(\{2\}\)和新得到的数列\(\{3\}\)合并得到小于\(4\)的素数列\(\{2,3\}\)。

进行第二次循环。我们已知初始素数列\(\{2,3\}\)。取其中最大的素数，即\(3\)。我们知道\(3^2=9\)，于是，我们可以得到大于\(3\)且小于\(3^2\)的奇数列\(\{5,7\}\) 。我们判定这个数列中不能被已知初始素数列\(\{2,3\}\)所整除的数，得到数列\(\{5,7\}\)。我们将初始素数列\(\{2,3\}\)和新得到的数列\(\{5,7\}\)合并得到小于\(9\)的素数列\(\{2,3,5,7\}\)。

进行第三次循环。我们已知初始素数列\(\{2,3,5,7\}\)。取其中最大的素数，即\(7\)。我们知道\(7^2=49\)，于是，我们可以得到大于\(7\)且小于\(7^2\)的奇数列\(\{9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43\}\) 。我们判定这个数列中不能被已知初始素数列\(\{2,3,5,7\}\)所整除的数，得到数列\(\{11,13,17,19,23,29,31,37,41,43\}\)。我们将初始素数列\(\{2,3,5,7\}\)和新得到的数列\(\{11,13,17,19,23,29,31,37,41,43\}\)合并得到小于\(49\)的素数列\(\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43\}\)。

以此类推。

我们可以用这种方式，一直计算下去，得到任意的大的素数（如果算力允许的话）。

4.1.1 算法

从\(2\)开始计算大素数即重复执行以下过程。

设全量的初始素数列\(\{2,3,\dots,p_k\}, k \ge 2\)。我们取其中最大的奇素数，即\(p_k\)。我们可以得到大于\(p_k\)且小于\(p_k^2\)的奇数列\(\{p_k + 2,\dots\ , p_k^2 - 2\}\) 。我们判定这个数列中不能被初始素数列\(\{2,\dots,p_k\}, k \ge 2\)整除的数，得到数列\(\{p_{k + 1}, \dots , p_l\}\) 。我们将初始素数列\(\{2,3,\dots,p_k\}, k \ge 2\)和新得到的素数列\(\{p_{k + 1}, \dots , p_l\}\)合并得到小于\(p_k^2\)的素数列\(\{2,3,\dots,p_l\}, l \ge 2\)。

4.1.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import com.google.common.collect.Lists;

import java.util.List;

/**

 * 求素数算法

 * @author lunyu

 * @since 2022/7/14

 */

public class PrimeNumMain {

    /**

     * 素数上限

     * 我们还是要设置一个上限，以便退出程序

     */

    private static final int PRIME_NUM_LIMIT = 300000;

    public static void main(String[] args) {

        List<Integer> primeNums = Lists.newArrayList(2, 3);

        int round = 1;

        getPrimeNumsByRound(primeNums, round);

        // TODO: 结果输出

        for (Integer primeNum : primeNums) {

            System.out.print(primeNum + " ");

        }

    }

    /**

     * 按轮次求大素数

     */

    private static void getPrimeNumsByRound(List<Integer> primeNums, int round) {

        // 获得已知素数列的最后一个素数

        Integer lastPrimeNum = primeNums.get(primeNums.size() - 1);

        // 迭代截止

        if (lastPrimeNum >= PRIME_NUM_LIMIT){

            return;

        }

        System.out.println("执行轮次 round：" + round);

        // 执行算法

        for (int i = lastPrimeNum + 2; i <= (lastPrimeNum * lastPrimeNum - 2);){

            // 迭代截止

            if (i >= PRIME_NUM_LIMIT){

                return;

            }

            boolean isPrime = isPrime(i, primeNums);

            if (isPrime){

                primeNums.add(i);

            }

            i += 2;

        }

        round ++;

        getPrimeNumsByRound(primeNums, round);

    }

    /**

     *  判定是否为素数

     */

    private static boolean isPrime(int num, List<Integer> primeNums) {

        for (Integer primeNum : primeNums) {

            if (0 == num % primeNum){

                return false;

            }

        }

        return true;

    }

}

4.1.3 算法复杂度

时间复杂度	空间复杂度
\(O(\frac{1}{4}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\)	\(O(n/{\ln n})\)

注：虽然算法复杂度没有变，但是执行时间上，使用递归的方式还是比循环的方式慢了不少，我想可能跟递归成本高有很大关系。