[XJOI3529] 左右
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Description
给你一个s数组,一个t数组,你可以对s数组执行以下两种操作
L 操作:每个数等于其左边的数加上自己
R 操作:每个数等于其右边的数加上自己
第一个数的左边是最后一个数,最后一个数的右边是第一个数
对于每个操作,所有的加法是同时进行的,即(new)s[i] = (old)s[i - 1] + (old)s[i]
现在问你s数组能否变成t数组。
数据范围 \(1\le n\le 50, 1\le s_i, t_i\le 10^{15}\)
Solution
引理:只要确定了\(L\)和\(R\)的次数,无论按什么顺序操作,最终序列都相同。
我们将这个数列视为一个多项式,并以\(0,1,...,n-1\)作为下标,则:
序列为\(a_0,a_1x,a_2x^2,...,a_{n-1}x^{n-1}\)
\(L\)操作等价于这个式子乘以\((1+x)\),指数对\(n\)取模。
\(R\)操作等价于这个式子乘以\((1+x^{n-1})\),指数对\(n\)取模。
我们发现,\(L\)和\(R\)操作的顺序并不影响序列的结果。
那么我们可以暴力枚举\(L\)和\(R\)的次数,并且直接模拟即可。
注意到,因为上限是\(10^{15}\),所以最多只需要\(L\)和\(R\)操作\(log\)次即可。
复杂度 \(O(n^3)\),跑不满。
Code
// Author: wlzhouzhuan
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rint register int
#define rep(i, l, r) for (rint i = l; i <= r; i++)
#define per(i, l, r) for (rint i = l; i >= r; i--)
#define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
#define pb push_back
#define pii pair <int, int>
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
inline int read() {
int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
return neg * x;
}
inline void print(int x) {
if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
if (x >= 10) print(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
const int N = 102;
ll a[N], b[N], n;
ll c[N], d[N];
bool check() {
for (int i = 1; i <= n; i++) if (c[i] != b[i]) return 0;
return 1;
}
int main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];
for (int a1 = 0; a1 <= 50; a1++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) c[i] = a[i];
int ok = 1;
for (int k = 1; k <= a1; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) d[i] = c[i] + c[i == 1 ? n : i - 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
c[i] = d[i];
if (c[i] > b[i]) {
ok = 0;
break;
}
}
}
if (!ok) continue;
int a2 = 50;
while (a2--) {
if (check()) {
puts("Yes");
exit(0);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) d[i] = c[i] + c[i == n ? 1 : i + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
c[i] = d[i];
if (c[i] > b[i]) {
break;
}
}
}
}
puts("No");
return 0;
}
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