四大常用算法:分治、贪心、回溯、动态规划

回溯算法是个“万金油”。基本上能用跟动态规划、贪心解决的问题,都可以用回溯去解决。回溯算法相当于穷举搜索,穷举所有情况,然后得到最优解。不过回溯算法时间复杂度非常高,指数级的,只能解决小规模数据问题。对于大规模数据,执行效率就相当低。

void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
} for (选择:本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)) {
处理节点;
backtracking(路径,选择列表); // 递归
回溯,撤销处理结果
}
}

动态规划算法高效,但并不是所有问题都可以用动态规划来解决,必须满足三个特征,最优子结构、无后效性和重复子问题。在重复子问题上,动态规划和分治算法的区分很明显,分治算法分割成的子问题,不能有重复子问题,而动态规划则相反,之所以高效,就是因为回溯算法实现中存在大量重复子问题。DP问题一定是分阶段问题。动态规划其实就是一种遍历,但是他是带备忘录的遍历,对于前面算到的子问题,仅就不在计算而是直接查看备忘录

贪心算法算是动态规划的一种特殊情况。解决问题更加高效,代码实现更简洁,不过他解决问题也更加有限。他能解决的问题必须满足三个条件,最优子结构,无后效性和贪心选择性。其中,最优子结构和无后效性跟动态规划无异,贪心选择性,就是通过局部最优选择,能产生全局最优选择。每一个阶段,我们都选择当前最优的决策,所有阶段的决策完之后,最终由这些局部最优解构成全局最优解。

  • 最优子结构:问题的整体最优解包含着它的子问题(某一个但不是全部子问题)的最优解。每一步贪心选完后会留下子问题,子问题的最优解和贪心选出来的解可以凑成原问题的最优解
  • 贪心选择性:整体的最优解可通过一系列局部最优解达到。每一步贪心选出来的一定是原问题的最优解的一部分
  • 无后效性:某阶段的状态旦确定,则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。也就是说,“未来与过去无关”,当前的状态是此前历史的一个完整的总结,此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变。

贪心VS动态规划

贪心:每一步的最优解一定包含上一步的最优解,上一步之前的最优解则不作保留;

动态规划:全局最优解中一定包含某个局部最优解,但不一定包含前一个局部最优解,因此需要记录之前的所有的局部最优解 。

举例说明:也就是说,假如你要求第十步的最优解,那么第十步的最优解肯定与第九步的最优解有关,而第九步的最优解肯定与第八步的最优解有关。可以这么理解,贪心算法第十步的最优解得把前面九步的最优解都用上了,但是动态规划你需要求第十步的最优解,这个最优解可能只与第八步,第三步,第一步有关,与第九步没有关系,我们为什么选择第八步而不选择第九步呢?是因为我们在计算第十步的最优解的时候其实把1-9步的组合的情况都计算了,选择了其中最优的解,也就是第八步的解,其实第十步解的构成与第九步没有关系,动态规划相当于穷举了1-9步最优情况下的组合,选了其中最优的作为第十步的最优解,而贪心算法第十步的最优解肯定是由第九步构成的。

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