题意:给你一棵树,要选择若干节点,若一个点i没有选择,则有\(d(dis(i,j))\)的代价,其中j被选择。选择一个点代价为k,求最小代价。

首先,考虑这样一个问题:

如果距离a的最近被选点为i,距离b的最近被选点也是i,那么a到b的路径上的点的最近被选点都是i。

考虑一条链:设Ax是链上第x个点,那么点y到Ax的距离fy(x)随x的增加,先下降,再上升。(这个显然)。

那么假设a到b路径上的c,最近点不是i而是j。

那么,\(dis(a,i)<dis(a,j),dis(c,i)>dis(c,j),dis(b,i)<dis(b,j)\)。

就是说\(fi\)和\(fj\)有两个交点。但这是不可能的。

所以,如果距离a的最近被选点为i,距离b的最近被选点也是i,那么a到b的路径上的点的最近被选点都是i一定成立。

换句话说,以i为最近点的j是一个连通块。

这样,我们设\(dp(i,j)\)表示i的最近点是j的状态。再维护\(f(i)\)表示\(dp(i,j)\)的最小值。

那么,对于i的每个儿子v,枚举它的最近点a,则转移到\(dp(v,a)\)。

但如果\(j=a\),那么对于v来说,a已经选择过了,则转移到\(dp(v,a)-k\)。

维护\(f(i)\)后就是\(dp(i,j)=min(f(v),dp(v,j)-k)+d(dis(i,j))+k\)。

因为要输出方案,再记录一下转移的位置。

\(dis\)数组可以\(O(n^2)\)预处理出。

代码:

#include <stdio.h>
int fr[182],ne[362],v[362],bs = 0;
void addb(int a, int b) {
v[bs] = b;
ne[bs] = fr[a];
fr[a] = bs++;
}
int dp[182][182],wz[182],sz[182],cd[182][182],n,k;
int fa[182],sd[182],ans[182],zy[362][182];
void dfs0(int u, int f) {
fa[u] = f;
sd[u] = sd[f] + 1;
for (int i = fr[u]; i != -1; i = ne[i]) {
if (v[i] != f) dfs0(v[i], u);
}
}
int dfscd(int a, int b) {
if (a == b) return 0;
if (cd[a][b]) return cd[a][b];
if (sd[a] > sd[b]) cd[a][b] = dfscd(fa[a], b) + 1;
else cd[a][b] = dfscd(a, fa[b]) + 1;
return cd[a][b];
}
void dfs(int u, int f) {
for (int i = fr[u]; i != -1; i = ne[i]) {
if (v[i] != f) dfs(v[i], u);
}
for (int a = 1; a <= n; a++) {
dp[u][a] = sz[cd[u][a]] + k;
for (int i = fr[u]; i != -1; i = ne[i]) {
if (v[i] == f) continue;
int t = dp[v[i]][wz[v[i]]];
if (dp[v[i]][a] - k < t) {
t = dp[v[i]][a] - k;
zy[i][a] = a;
} else zy[i][a] = wz[v[i]];
dp[u][a] += t;
}
if (a == 1 || dp[u][a] < dp[u][wz[u]]) wz[u] = a;
}
}
void dfs1(int u, int f, int a) {
ans[u] = a;
for (int i = fr[u]; i != -1; i = ne[i]) {
if (v[i] != f) dfs1(v[i], u, zy[i][a]);
}
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &k);
for (int i = 1; i <= n; i++) fr[i] = -1;
for (int i = 1; i < n; i++) scanf("%d", &sz[i]);
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
int a,b;
scanf("%d%d", &a, &b);
addb(a, b);
addb(b, a);
}
dfs0(1, 0);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (i != j && cd[i][j] == 0) dfscd(i, j);
}
}
dfs(1, 0);
int z = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (dp[1][i] < dp[1][z]) z = i;
}
printf("%d\n", dp[1][z]);
dfs1(1, 0, z);
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", ans[i]);
return 0;
}

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