Connected Graph

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求n个点的无向联通图数量，\(n\leq 50\)。

解

直接无向联通图做状态等于是以边点做考虑，难以去重，考虑联通对立面即不联通。

不难求出n个点的总方案数为\(2^{\frac{n\times (n-1)}{2}}\)，所以设\(f_i\)表示n个点的无向联通图个数，因此我们有

\[f_i=2^{\frac{n(n-1)}{2}}-\sum_{j=1}^{i-1}f_jC_i^j2^{\frac{(i-j)(i-j-1)}{2}}
\]

但是这样的转移存在重复，考虑特殊化去重，注意到如果这张图不合法，可以等价于任何一个联通图不合法，于是可以强制让点1不合法，因此有

\[f_i=2^{\frac{n(n-1)}{2}}-\sum_{j=1}^{i-1}f_jC_{i-1}^{j-1}2^{\frac{(i-j)(i-j-1)}{2}}
\]

边界：\(f_1=1\)

答案：\(f_n\)

时间复杂度显然\(O(n^2)\)，但是高精度占去大量时间。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
using namespace std;
struct lll{
	int num[1001];
	lll(){num[0]=1;}
	il void clear(){
		memset(num,0,sizeof(num)),num[0]=1;
	}
	il void read(){
		string s;cin>>s,num[0]=s.size();
		for(ri int i(1);i<=num[0];++i)
			num[i]=s[num[0]-i];
	}
	il void print(){
		for(ri int i(num[0]);i;--i)putchar(num[i]+48);
	}
	il void operator=(string s){
		num[0]=s.size();
		for(ri int i(1);i<=s.size();++i)
			num[i]=num[s.size()-i];
	}
	il lll operator+(lll x){
		lll y;y.clear();ri int i;
		for(i=1;i<=num[0]||i<=x.num[0];++i){
			y.num[i]+=num[i]+x.num[i];
			if(y.num[i]>9)++y.num[i+1],y.num[i]-=10;
		}y.num[0]=i;
		while(!y.num[y.num[0]]&&y.num[0]>1)--y.num[0];
		return y;
	}
	il lll operator-(lll x){
		lll y;y.clear();ri int i;
		for(i=1;i<=num[0];++i){
			y.num[i]+=num[i]-x.num[i];
			if(y.num[i]<0)--y.num[i+1],y.num[i]+=10;
		}y.num[0]=i;
		while(!y.num[y.num[0]]&&y.num[0]>1)--y.num[0];
		return y;
	}
	il lll operator*(lll x){
		lll y;y.clear();ri int i,j,k;
		for(i=1;i<=num[0];++i){
			k=0;
			for(j=1;j<=x.num[0];++j)
				y.num[i+j-1]+=num[i]*x.num[j]+k,
					k=y.num[i+j-1]/10,y.num[i+j-1]%=10;
			y.num[i+x.num[0]]+=k;
		}y.num[0]=i+j;
		while(!y.num[y.num[0]]&&y.num[0]>1)--y.num[0];
		return y;
	}
}p2[2501],c[51][51],dp[51];
int main(){
	int n,i,j;p2[0]="1";
	for(i=1;i<=2500;++i)p2[i]=p2[i-1]+p2[i-1];
	for(i=0;i<=50;++i){c[i][0]="1";
		for(j=1;j<=i;++j)
			c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
	}
	while(scanf("%d",&n),n){
		memset(dp,0,sizeof(dp)),dp[1]="1";
		for(i=2;i<=n;++i){
			dp[i]=p2[i*(i-1)>>1];
			for(j=1;j<i;++j)
				dp[i]=dp[i]-dp[j]*c[i-1][j-1]*p2[(i-j)*(i-1-j)>>1];
		}dp[n].print(),putchar('\n');
	}
	return 0;
}