Luogu P2822 组合数问题(前缀和)

P2822 组合数问题

题意

题目描述

组合数\(C_n^m\)表示的是从\(n\)个物品中选出\(m\)个物品的方案数。举个例子，从\((1,2,3)\)三个物品中选择两个物品可以有\((1,2),(1,3),(2,3)\)这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数\(C_n^m\)的一般公式：

\[C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}
\]

其中\(n!=1\times 2\times \cdots \times n\)；特别地，定义\(0!=1\)。

小葱想知道如果给定\(n,m\)和\(k\)，对于所有的\(0\leq i\leq n,0\leq j\leq \min \left( i, m \right)\)有多少对\((i,j)\)满足\(C_i^j\)是\(k\)的倍数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数\(t,k\)，其中\(t\)代表该测试点总共有多少组测试数据，\(k\)的意义见问题描述。

接下来\(t\)行每行两个整数\(n,m\)，其中\(n,m\)的意义见问题描述。

输出格式：

共\(t\)行，每行一个整数代表所有的\(0\leq i\leq n,0\leq j\leq \min \left( i,m\right)\)中有多少对\((i,j)\)满足\(C_i^j\)是\(k\)的倍数。

输入输出样例

输入样例#1：

1 2
3 3

输出样例#1：

1

输入样例#2：

2 5
4 5
6 7

输出样例#2：

0
7

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有\(C_2^1=2\)是\(2\)的倍数。

【子任务】

思路

\(10\)个月以前，当我和一位数竞党聊起这道题的时候，他启发我，可以利用\(k\)的特性来特判每一个数据点。当时的我嫌麻烦，没有这样写。如今问了\(Mercury\)这道题的做法，才发现正解才是\(OI\)思维，之前的想法太偏数学了。

首先，杨辉三角的值与组合数相同，我们可以用求杨辉三角的方法很快求出组合数。在求的过程中，组合数对\(k\)取模，若该位为\(0\)，则说明它是\(k\)的倍数。

然后就是这道题的精髓了：用一个二维数组\(s[i][j]\)统计组合数为\(0\)的情况的前缀和。转移方法是：\(s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+[c[i][j]=0]\)。

然后直接输出前缀和就好啦。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,k,a[2005][2005],s[2005][2005];
int read()
{
    int re=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return re;
}
int main()
{
    t=read(),k=read();
    a[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=2001;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++) a[i][j]=(a[i-1][j-1]+a[i-1][j])%k;
        for(int j=1;j<=i;j++) s[i][j]=s[i][j-1]+(!a[i][j]);
        for(int j=i+1;j<=2001;j++) s[i][j]=s[i][i];
        for(int j=1;j<=2001;j++) s[i][j]+=s[i-1][j];
    }
    while(t--)
    {
        int x=read(),y=read();
        printf("%d\n",s[x+1][y+1]);
    }
    return 0;
}