清北学堂—2020.1提高储备营—Day 3（图论初步（一））

qbxt Day 3

——2020.1.19 济南主讲：李奥

目录一览

1.图论（图、图的存储方式、最小生成树的定义）

总知识点：图论

前言：众所周知，图论是一个非常重要的部分，而这次集训也可以算从头讲起了，所以说知识点很多，（不过好多还是比较简单的，毕竟是基础。。。。。）

一、图（纯知识点，初赛常考）
1.构成：点、边（有向边，无向边）
无向边构成的图叫做无向图；有向边构成的图叫做有向图（又称双向图）

2.度：（1）在无向图中，与这个点相连的边的数量叫做这个点的度。（度数和=边数*2）
（2）在有向图中，度分为两种，分别是入度和出度
入度指以该点为终点的边的数量，出度指以该点为起点的边的数量
入度、出度、边数必须满足一个公式：出度和=入度和=边数

3.图的连通性
（1）连通块：若一个点所在的集合中任意两个点可以互相到达，则称一个连通块。
（2）无向图：任意两连通块间无边相连。
（3）有向图：若一个连通块缩小成一个点，则形成一个拓补图。

4.特殊的图：树、拓补图（有向无环图，即没有任何一对点可以互相达到）

二、图的存储方式
1.邻接矩阵存储
（1）代码模板

//不带权有向图
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>x>>y;
    a[x][y]=1;
}
//不带权无向图
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>x>>y;
    a[x][y]=1;
    a[y][x]=1;
    //无向图双向标记
}
//带权有向图
memset(a,0,sizeof(a))
for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>x>>y>>k;   //k表示x到y之间的边的权值为k
    a[x][y]=1;
}
//带权无向图
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>x>>y>>k;
    a[x][y]=1;
    a[y][x]=1;
    //无向图双向标记
}

（2）缺点分析
邻接矩阵对于两点之间有多边相连的情况，他只能其中一个信息（即不能储存所有信息）
补救措施：若求最短路，我们只需要记最短的 a[x][y]=min(a[x][y],k);

2.边列表
（1）对于有向图，如果一个节点x有多条边相连，邻接链表无法很好的处理，边列表就可以很好的解决。
（2）结构：

struct Edge{
    int x,y,k,next;
}a[101];
int len;

解释：x指边的起点，y指边的终点，k指该边的权值（有无均可），a[i].next表示与i有共同起点的上一条边的编号。
不过，对于边列表，我们还需要一个辅助数组first[]。
first[x]表示以x为起点的第一条边的编号(注意这个第一实际上是最后加入，编号最大的边)。
代码：

inline void ins(int x,int y,int k){
    len++;
    a[len].x=x; a[len].y=y; a[len].k=k;
    a[len].next=first[x];first[x]=len;
}
memset(first,0,sizeof(first));
len=0;
for(i=1;i<=m;i++){
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
    ins(x,y,k);
}

三、最小生成树
（1）定义：对于一个带权联通的无向图，从m条边中选出恰好n-1条边构成的一棵树称为该图的一棵生成树。
一个图的生成树中边权和最小的生成树即为最小生成树。
注：最小生成树可能有多个。

未完待续。。。。。。