HDU 1081 To The Max【dp，思维】

HDU 1081

题意：给定二维矩阵，求数组的子矩阵的元素和最大是多少。

题解：这个相当于求最大连续子序列和的加强版，把一维变成了二维。

先看看一维怎么办的：

 int getsum()
 {
     int tot=;
     int ans=-1e9;
     for(int i=;i<=n;i++){
         if(tot<) tot=;
         tot+=a[i];
         if(tot>ans)
             ans=tot;
     }
     return ans;
 }

这种做法太棒了！短短几行，就能解决最大子序列和这个问题。其实这几行代码值得深思。而且这是个在线算法，输入数据及时能给出结果，感觉不能归于动归解法。

　　但当求解这道题时，就不知道怎么办了。我当时受到以前做的一道关于求01矩阵最大0子矩阵面积的题的启发，想先预处理每行得到前缀和数组，然后再想办法dp。可是dp状态和方程一直找不好。后来看到别人的解法才明白，他们其实也是预先处理的每行的前缀和。他们的想法就是先求出每行的前缀和数组sum[][],然后依次枚举前k行的第i列到第j列的和，求最大值。感觉就像是枚举出了每一个子矩阵，像暴力>_<.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = ;
int sum[MAXN][MAXN];

int main()
{
    int N, tmp;
    while (scanf("%d", &N) == )
    {
        memset(sum, , sizeof(sum));
        for (int i = ; i <= N; i++)
            for (int j = ; j <= N; j++)
            {
                scanf(" %d", &tmp);
                sum[i][j] = sum[i][j - ] + tmp;//预处理得到每行的前缀和
            }
        int ans = -1e9;
        for (int i = ; i <= N; i++) {//从第i列
            for (int j = i; j <= N; j++) {//到第j列
                int tot = ;
                for (int k = ; k <= N; k++)//前k行
                {
                    if (tot < ) tot = ;
                    tot += sum[k][j] - sum[k][i - ];//第i列到第j列的和
                    if (ans < tot)
                        ans = tot;
                }
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return ;
}

当然，可以前k行第i列到第j列就可以前k列第i行到第j行，其实是一样的：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int MAXN = ;
 int sum[MAXN][MAXN];

 int main()
 {
     int N,tmp;
     while (scanf("%d",&N)==)
     {
         memset(sum, , sizeof(sum));
         for(int i=;i<=N;i++)
             for (int j = ; j <= N; j++)
             {
                 scanf(" %d", &tmp);
                 sum[i][j] = sum[i-][j] + tmp;
             }
         int ans = -1e9;
         for (int i = ; i <= N; i++) {
             for (int j = i; j <= N; j++) {
                 int tot = ;
                 for (int k = ; k <= N; k++)
                 {
                     if (tot < ) tot = ;
                     tot += sum[j][k] - sum[i-][k];
                     if (ans < tot)
                         ans = tot;
                 }
             }
         }
         printf("%d\n", ans);
     }
     return ;
 }

按前k列想

也有人按照矩阵压缩的想法写，我觉得实际上还是上面的做法，而且上面的想法更容易理解。因为这里所谓矩阵压缩也就是几行加在一起求最大连续子序列。虽殊途同归，但毕竟想法不一样，代码上就会稍微有点差别：

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int MAXN=;
 int a[MAXN][MAXN],tmp[MAXN];
 int N;

 int getsum()
 {
     int tot=,mx=;
     for(int i=;i<=N;i++){
         tot+=tmp[i];
         if(tot>mx) mx=tot;
         if(tot<) tot=;
     }
     return mx;
 }

 int main()
 {
     while(scanf("%d",&N)==)
     {
         int temp;
         for(int i=;i<=N;i++)
             for(int j=;j<=N;j++)
             scanf("%d",&a[i][j]);
         int ans=-1e9;
         for(int i=;i<=N;i++)
         {
             memset(tmp,,sizeof(tmp));
             for(int j=i;j<=N;j++)
             {
                 for(int k=;k<=N;k++)
                     tmp[k]+=a[j][k];
                 int tot=getsum();
                 if(ans<tot)
                     ans=tot;
             }
         }
         printf("%d\n",ans);
     }

     return ;
 }

按矩阵压缩的想法

还有人用树状数组写，我觉的也很棒。没想到我第一次用到二维树状数组是再做dp题的时候。。。虽然这是伪装成二维树状数组的，因为只更新了一维。按照我的理解二维树状数组就是存了若干个一维树状数组的和。

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int MAXN=;
 int sum[MAXN][MAXN]={};
 int N;

 int Lowbit(int x)
 {
     return x&-x;
 }

 void Add(int i,int j,int val)
 {
     while(j<=N){
         sum[i][j]+=val;
         j+=Lowbit(j);
     }
     return;
 }

 int Sum(int k,int x)
 {
     int cnt=;
     while(x>){
         cnt+=sum[k][x];
         x-=Lowbit(x);
     }
     return cnt;
 }

 int main()
 {
     while(scanf("%d",&N)==)
     {
         int tmp;
         memset(sum,,sizeof(sum));
         for(int i=;i<=N;i++)
         for(int j=;j<=N;j++){
             scanf("%d",&tmp);
             Add(i,j,tmp);
         }
         int ans=-1e9;
         for(int i=;i<=N;i++)
         {
             for(int j=i;j<=N;j++){
                 int tot=;
                 for(int k=;k<=N;k++){
                     if(tot<) tot=;
                     tot+=Sum(k,j)-Sum(k,i-);
                     if(ans<tot)
                         ans=tot;
                 }
             }
         }
         printf("%d\n",ans);
     }

     return ;
 }

当然，加个dp数组看起来更像是dp题。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int MAXN = ;
 int sum[MAXN][MAXN];
 int dp[MAXN];
 int N;

 int lowbit(int x)
 {
     return x&-x;
 }

 void add(int i, int j, int d)
 {
     while (j <= N)
     {
         sum[i][j] += d;
         j += lowbit(j);
     }
     return;
 }

 int Sum(int k, int x)
 {
     int cnt = ;
     while (x>)
     {
         cnt += sum[k][x];
         x -= lowbit(x);
     }
     return cnt;
 }

 int main()
 {
     int tmp;
     while (scanf("%d",&N)==)
     {
         memset(sum, , sizeof(sum));
         for(int i=;i<=N;i++)
             for (int j = ; j <= N; j++)
             {
                 scanf(" %d", &tmp);
                 add(i, j, tmp);
             }
         int ans = -1e9;
         for (int i = ; i <= N; i++) {
             for (int j = i; j <= N; j++) {
                 memset(dp, , sizeof(dp));
                 for (int k = ; k <= N; k++) {
                     tmp = Sum(k, j) - Sum(k, i-);
                     if (dp[k - ] > )
                         dp[k] = dp[k - ] + tmp;
                     else
                         dp[k] = tmp;
                     ans = max(ans, dp[k]);
                 }
             }
         }
         printf("%d\n", ans);
     }
     return ;
 }

加个dp[]数组

参考博客（感谢~）：

【1】：http://blog.csdn.net/acmman/article/details/38580931?spm=5176.100239.blogcont18950.3.TbcH0h

【2】：http://www.cnblogs.com/cenariusxz/p/4309627.html

【3】：http://www.cnblogs.com/gaigai/archive/2012/03/04/2379728.html