【同余最短路】洛谷 P2662 牛场围栏

关于同余最短路的部分 【同余最短路】P3403跳楼机/P2371墨墨的等式

【P2662牛场围栏】

题目背景

小L通过泥萌的帮助，成功解决了二叉树的修改问题，并因此写了一篇论文，

成功报送了叉院（羡慕不？）。勤奋又勤思的他在研究生时期成功转系，考入了北京大学光华管理学院！毕业后，凭着自己积累下的浓厚经济学与计算机学的基础，成功建设了一个现代化奶牛场！

题目描述

奶牛们十分聪明,于是在牛场建围栏时打算和小L斗智斗勇！小L有N种可以建造围栏的木料，长度分别是l1,l2 … lN，每种长度的木料无限。

修建时，他将把所有选中的木料拼接在一起，因此围栏的长度就是他使用的木料长度之和。但是聪明的小L很快发现很多长度都是不能由这些木料长度相加得到的，于是决定在必要的时候把这些木料砍掉一部分以后再使用。

不过由于小L比较节约，他给自己规定：任何一根木料最多只能削短M米。当然，每根木料削去的木料长度不需要都一样。不过由于测量工具太原始，小L只能准确的削去整数米的木料，因此，如果他有两种长度分别是7和11的木料，每根最多只能砍掉1米，那么实际上就有4种可以使用的木料长度，分别是6， 7，10, 11。

因为小L相信自己的奶牛举世无双，于是让他们自己设计围栏。奶牛们不愿意自己和同伴在游戏时受到围栏的限制，于是想刁难一下小L，希望小L的木料无论经过怎样的加工，长度之和都不可能得到他们设计的围栏总长度。不过小L知道，如果围栏的长度太小，小L很快就能发现它是不能修建好的。因此她希望得到你的帮助，找出无法修建的最大围栏长度。

这一定难不倒聪明的你吧！如果你能帮小L解决这个问题，也许他会把最后的资产分给你1/8哦！

输入输出格式

输入格式：

输入的第一行包含两个整数N,  M，分别表示木料的种类和每根木料削去的最大值。以下各行每行一个整数li(1< li< 3000),表示第i根木料的原始长度。

输出格式：

输出仅一行，包含一个整数，表示不能修建的最大围栏长度。如果任何长度的围栏都可以修建或者这个最大值不存在，输出-1。

输入输出样例

输入样例#1：

2 1
7 11

输出样例#1：

15

说明

40 % ：1< N< 10,  0< M< 300

100 % ：1< N< 100,  0< M< 3000

思路

关于同余最短路的东西已经写过了，这里直接本题相关。

依然是由一些数字去凑一个数字的剩余系，这道题由于多了M的条件，需要先暴力把所有能用的数字求出来，并让其中最小的那个成为提供剩余系的x。

然后跑一遍所有能用的数字，和x的剩余系建边，最后跑最短路。

求不能凑出的最大数的时候，我们要先考虑d数组的意义。d[i]即为其他数字能凑出来的%x=i的最小数字，那么d[i]+x,d[i]+2x,d[i]+3x... d[i]以上跳所有个x都能达到。

那么%x=i的数字，最大凑不出来的就是d[i]-x。

那么很显然了，把所有的d[i]-x求出来，取其中最大值。

但是还有要注意的地方，本题存在输出-1的要求。其中一种输出-1的情况是没有凑不出来的数，那么当我们能用的木料中存在长为1的，自然就能达到所有的长度。

另一种情况是不存在这个最大值。这里有两种考虑方向，一种是求出所有数字的gcd，若其不等于1，自然有一系列没法凑出来的数字。因为能凑出来的数字一定是这个gcd的倍数，其不为一的时候必然存在凑不出来的空缺。还有一种方法是最后找ans的时候顺便看一下是否有d[i]>max（max是给d数组跑最短路前设的最大值），如果有，那么一定存在一串%x=i的数字都凑不出来。（其实这种做法大概相当于猜测利用了数据比较小）

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
int x,a[];
int ver[],Next[],head[],edge[],tot,d[],vis[],ans=;
queue<int>q;
void add(int x,int y,int z){
    ver[++tot]=y;
    Next[tot]=head[x];
    edge[tot]=z;
    head[x]=tot;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    sort(a+,a+n+);
    x=max(,a[]-m);
    if(x==){
        printf("-1");
        return ;
    }
    for(int i=;i<=n;i++){
        for(int j=max(a[i-]+,a[i]-m);j<=a[i];j++){
            if(j!=x){
                for(int k=;k<x;k++){
                    add(k,(k+j)%x,j);
                }
            }
        }
    }
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    d[]=;
    q.push();
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=;
        for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
            int v=ver[i],z=edge[i];
            if(d[v]>d[u]+z){
                d[v]=d[u]+z;
                if(!vis[v]){
                    vis[v]=;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    d[x]=;
    for(int i=;i<x;i++){
//        printf("%d %d\n",i,d[i]);
        if(d[i]>){
            printf("-1");
            return ;
        }
        ans=max(ans,d[i]-x);
    }
    printf("%d",ans);
    return ;
}

以上。