LG3978 【[TJOI2015]概率论】
生成函数做法
前置:卡特兰数
记\(C_n\)为\(n\)个节点的二叉树的个数,\(C_0=1\),对于\(n \geq 1\),取一个根节点,枚举其左子树大小,有
\]
则卡特兰数的生成函数\(C\)满足
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解方程得
\]
上面为什么不取正呢?考虑x=0,取负上下为等阶无穷小,值为1;取正上面是2下面是0,无意义。所以只能取负。
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\]
\]
分析
记\(h_n\)表示这\(C_n\)个二叉树的叶子数目之和,有\(h_0=0,h_1=1\)
对于\(n\geq 2\),枚举根的左儿子大小并由对称性,有
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\]
\]
根据\(C(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\),解得
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\]
\]
那么期望值为
\]
组合做法
对于一个叶子,可以用一个pair来描述:去掉该叶子后的二叉树,在该二叉树的哪个位置添加该叶子。
每个pair也对应了唯一的叶子。所以考虑计数这个pair
去掉该叶子的二叉树有N − 1个点,数目为CatalanN−1
对于一个N − 1个点的二叉树,考虑有多少个空位可以放。总共有2 × (N − 1)个空位,但是有N − 2个点已经占据了一个空位,所以有N个空位可以添加叶子
两个方案数相乘,再除以CatalanN,化简一下发现答案是 \(\frac{n(n+1)}{4n-2}\)。
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