一、同余

给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足(a-b)能够被m整除,即(a-b)/m得到一个整数,那么就称整数a与b对模m同余,记作a≡b(mod m)

二、欧拉定理

任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?

计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以φ(n)表示。

在1到8之中,与8形成互质关系的是1、3、5、7,所以 φ(8) = 4。

a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说,a的φ(n)次方减去1,可以被n整除。

比如,

3和7互质,而7的欧拉函数φ(7)等于6,所以3的6次方减去1,可以被7整除(即:(729-1)/ 7 = 104)。

比如,

5和12互质

如果两个正整数a和n互质,则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立:

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如,7的222次方的个位数

7和10互质,根据欧拉定理,

已知 φ(10) = 4,所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。

欧拉定理有一个特殊情况(费马小定理)。

假设正整数a与质数p互质,如果质数p的φ(p)等于p-1,则欧拉定理可以写成

三、模反

如果两个正整数a和n互质,那么一定可以找到整数b,使得 ab-1 被n整除,或者说ab被n除的余数是1。

这时,b就叫做a的"模反元素"

比如,3和11互质,那么3的模反元素就是4,因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。

显然,模反元素不止一个, 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {...,-18,-7,4,15,26,...},即如果b是a的模反元素,则 b+kn 都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。

可以看到,a的 φ(n)-1 次方,就是a的模反元素。

四、加密过程

第一步,随机选择两个不相等的质数p和q : 61和53。

第二步,计算p和q的乘积n。 n = 61×53 = 3233

n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001,一共有12位,所以这个密钥就是12位。

实际应用中,RSA密钥一般是1024位,重要场合则为2048位。

第三步,计算n的欧拉函数φ(n)。

根据公式:φ(n) = (p-1)(q-1)

φ(3233)=60×52=3120。

第四步,随机选择一个整数e,条件是1< e < φ(n),且e与φ(n) 互质。

随机选择了17。(实际应用中,常常选择65537。)

第五步,计算e对于φ(n)的模反元素d。

所谓"模反元素"就是指有一个整数d,可以使得ed被φ(n)除的余数为1。

  ed ≡ 1 (mod φ(n))

这个式子等价于

  ed - 1 = kφ(n)

于是,找到模反元素d,实质上就是对下面这个二元一次方程求解。

  ex + φ(n)y = 1

已知 e=17, φ(n)=3120,

  17x + 3120y = 1

算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15),即 d=2753。

至此所有计算完成。

第六步,将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥。

n=3233,e=17,d=2753,所以公钥就是 (3233,17),私钥就是(3233, 2753)。

实际应用中,公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达(实例)。

参考:

阮一峰:RSA算法原理

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