ACM 矩阵题目整理
先从最基础的矩阵快速幂加速递推开始。
HDU 1005 Number Sequence
|f[n-2],f[n-1]|* |0 B| =|f[n-1], B*f[n-2]+A*f[n-1]|=|f[n-1],f[n]|
|1 A|
建立矩阵如上然后利用快速幂求解即可。答案是mat[0][1]。
#include<iostream> #include<vector> #include<cmath> #include<map> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<queue> #include<cmath> #include<set> #include<string> #define INF 1000000005 #define LL long long using namespace std; ; struct Matrix { int n,m; int a[MAXN][MAXN]; ,) { n=x; m=y; memset(a,,sizeof(a)); } Matrix operator * (const Matrix &b)const { Matrix tmp; tmp.clear(n,b.m); ; i<n; ++i) ; j<b.m; ++j) ; k<m; ++k) { tmp.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j]; tmp.a[i][j]%=; } return tmp; } }; Matrix quickPow(Matrix mat,int n) { Matrix res; res.clear(,); res.a[][]=res.a[][]=; while(n) { ) res=res*mat; mat=mat*mat; n=n>>; } return res; } int main() { int A,B,n; while(scanf("%d%d%d",&A,&B,&n)!=EOF) { if(!A&&!B&&!n) break; ||n==) { puts("); continue; } Matrix mat; mat.clear(,); mat.a[][]=; mat.a[][]=B; mat.a[][]=; mat.a[][]=A; Matrix f; f.clear(,); f.a[][]=; f.a[][]=; n-=; Matrix s=f*quickPow(mat,n); printf(][])%); } ; }
HDU 4920 Matrix multiplication
矩阵乘法,直接算会超时。由于是模3,所以0很多,也就是稀疏矩阵。可以优化。
参见下文:http://www.cnblogs.com/jackiesteed/articles/2021604.html
#include<iostream> #include<vector> #include<map> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<string> #define LL long long using namespace std; ][],B[][]; ][]; int n; int main() { int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { ; i<=n; ++i) ; j<=n; ++j) { scanf("%d",&A[i][j]); A[i][j]%=; } ; i<=n; ++i) ; j<=n; ++j) { scanf("%d",&B[i][j]); B[i][j]%=; } memset(C,,sizeof(C)); ; i<=n; ++i) ; j<=n; ++j) { ) continue; ; k<=n; ++k) C[i][k]+=A[i][j]*B[j][k]; } ; i<=n; ++i) { ; j<=n; ++j) ) printf(); ); printf("\n"); } } ; }
HDU 1575 Tr A
求矩阵的迹。直接快速幂即可。
#include<iostream> #include<vector> #include<cmath> #include<map> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<queue> #include<cmath> #include<set> #include<string> #define INF 1000000005 #define LL long long using namespace std; ; struct Matrix { int n,m; int a[MAXN][MAXN]; ,) { n=x; m=y; memset(a,,sizeof(a)); } Matrix operator * (const Matrix &b)const { Matrix tmp; tmp.clear(n,b.m); ; i<n; ++i) ; j<b.m; ++j) { ; k<b.m; ++k) { ==a[i][j]) continue;//优化! tmp.a[i][k]+=a[i][j]*b.a[j][k]; tmp.a[i][k]%=; } } return tmp; } void setOne(int x) { clear(x,x); ; i<x; ++i) a[i][i]=; } }; Matrix one; Matrix quickPow(Matrix mat,int n) { Matrix res=one; while(n) { ) res=res*mat; mat=mat*mat; n=n>>; } return res; } int main() { int T; scanf("%d",&T); while(T--){ int n,k; scanf("%d%d",&n,&k); one.setOne(n); Matrix mat; mat.clear(n,n); ;i<n;++i) ;j<n;++j) scanf("%d",&mat.a[i][j]); mat=quickPow(mat,k); ; ;i<n;++i) { ans+=mat.a[i][i]; ans%=; } printf("%d\n",ans); } ; }
HDU 1757 A Simple Math Problem
一个简单的递推,建立矩阵后,快速幂。
#include<iostream> #include<vector> #include<cmath> #include<map> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<queue> #include<cmath> #include<set> #include<string> #define INF 1000000005 #define LL long long using namespace std; ; int M; struct Matrix { int n,m; int a[MAXN][MAXN]; ,) { n=x; m=y; memset(a,,sizeof(a)); } Matrix operator * (const Matrix &b)const { Matrix tmp; tmp.clear(n,b.m); ; i<n; ++i) ; j<b.m; ++j) { ; k<b.m; ++k) { ==a[i][j]) continue;//优化! tmp.a[i][k]+=a[i][j]*b.a[j][k]; tmp.a[i][k]%=M; } } return tmp; } void setOne(int x) { clear(x,x); ; i<x; ++i) a[i][i]=; } }; Matrix one; Matrix quickPow(Matrix mat,int n) { Matrix res=one; while(n) { ) res=res*mat; mat=mat*mat; n=n>>; } return res; } int main() { int k; one.setOne(); while(scanf("%d%d",&k,&M)!=EOF) { Matrix mat; mat.clear(,); ; i<; ++i) mat.a[i+][i]=; ; i<; ++i) scanf(-i][]); ) printf("%d\n",k%M); else { Matrix f; f.clear(,); ; i<; ++i) f.a[][i]=i; k-=; f=f*quickPow(mat,k); printf(][]); } } ; }
UVa 10870 Recurrences
与上面类型相似的题,建立矩阵,再快速幂加速。注意会超int。
#include<iostream> #include<vector> #include<cmath> #include<map> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<queue> #include<cmath> #include<set> #include<string> #define INF 1000000005 #define LL long long using namespace std; ; int M; struct Matrix { int n,m; LL a[MAXN][MAXN]; ,) { n=x; m=y; memset(a,,sizeof(a)); } Matrix operator * (const Matrix &b)const { Matrix tmp; tmp.clear(n,b.m); ; i<n; ++i) ; j<b.m; ++j) { ; k<b.m; ++k) { ==a[i][j]) continue;//优化! tmp.a[i][k]+=a[i][j]*b.a[j][k]; tmp.a[i][k]%=M; } } return tmp; } void setOne(int x) { clear(x,x); ; i<x; ++i) a[i][i]=; } }; Matrix one; Matrix quickPow(Matrix mat,LL n) { Matrix res=one; while(n) { ) res=res*mat; mat=mat*mat; n=n>>; } return res; } int main() { int d,n; while(scanf("%d%d%d",&d,&n,&M)!=EOF) { if(!d&&!n&&!M) break; one.setOne(d); Matrix mat; mat.clear(d,d); ; i<d; ++i) mat.a[i+][i]=; ; i<d; ++i) scanf(-i][d-]); Matrix f; f.clear(,d); ; i<d; ++i) scanf(][i]); if(n<=d) printf(][n-]%M); else { n-=d; f=f*quickPow(mat,n); printf(][d-]%M); } } ; }
POJ 3734 Blocks
递推+矩阵快速幂。
设计状态的时候要考虑所有可能的情况,保证无重复无遗漏,再考虑转移。最后用矩阵加速。
#include<iostream> #include<vector> #include<cmath> #include<map> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<queue> #include<cmath> #include<set> #include<string> #define INF 1000000005 #define LL long long using namespace std; ; ; struct Matrix { int n,m; int a[MAXN][MAXN]; Matrix(,):n(x),m(y) { memset(a,,sizeof(a)); } ,) { n=x; m=y; memset(a,,sizeof(a)); } Matrix operator * (const Matrix &b)const { Matrix tmp; tmp.clear(n,b.m); ; i<n; ++i) ; j<b.m; ++j) { ; k<b.m; ++k) { ==a[i][j]) continue;//ÓÅ»¯£¡ tmp.a[i][k]+=a[i][j]*b.a[j][k]; tmp.a[i][k]%=M; } } return tmp; } void setOne(int x) { clear(x,x); ; i<x; ++i) a[i][i]=; } }; Matrix one; Matrix quickPow(Matrix mat,int n) { Matrix res=one; while(n) { ) res=res*mat; mat=mat*mat; n=n>>; } return res; } int main() { one.setOne(); int T; scanf("%d",&T); while(T--) { int n; scanf("%d",&n); Matrix mat(,); mat.a[][]=,mat.a[][]=,mat.a[][]=; mat.a[][]=,mat.a[][]=,mat.a[][]=; mat.a[][]=,mat.a[][]=,mat.a[][]=; Matrix f(,); f.a[][]=; Matrix ans=f*quickPow(mat,n); printf(][]); } ; }
POJ 3420 Quad Tiling
这个题的关键是在求递推式。
设dp[i]表示填满前i个方块的种数。那么从dp[i-1]转移有1种情况,从dp[i-2]转移有4种情况,在之后从dp[i-a],如果a是奇数有2种情况,a是偶数有3种情况。
这样最终化简得dp[i]=dp[i-1]+5dp[i-2]+dp[i-3]-dp[i-4]
#include<iostream> #include<vector> #include<cmath> #include<map> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<queue> #include<cmath> #include<set> #include<string> #define INF 1000000005 #define LL long long using namespace std; ; int M; struct Matrix { int n,m; int a[MAXN][MAXN]; Matrix(,):n(x),m(y) { memset(a,,sizeof(a)); } ,) { n=x; m=y; memset(a,,sizeof(a)); } Matrix operator * (const Matrix &b)const { Matrix tmp; tmp.clear(n,b.m); ; i<n; ++i) ; j<b.m; ++j) { ; k<b.m; ++k) { ==a[i][j]) continue;//优化 tmp.a[i][k]+=a[i][j]*b.a[j][k]; tmp.a[i][k]%=M; } } return tmp; } void setOne(int x) { clear(x,x); ; i<x; ++i) a[i][i]=; } }; Matrix one; Matrix quickPow(Matrix mat,int n) { Matrix res=one; ) { ) res=res*mat; mat=mat*mat; n=n>>; } return res; } int main() { int n; one.setOne(); while(scanf("%d%d",&n,&M)!=EOF) { if(!n&&!M) break; Matrix mat(,); ; i<; ++i) mat.a[i+][i]=; mat.a[][]=-,mat.a[][]=,mat.a[][]=,mat.a[][]=; Matrix f(,); f.a[][]=,f.a[][]=,f.a[][]=,f.a[][]=; ) printf(][n]%M); else { n-=; Matrix s=f*quickPow(mat,n); printf(][]); } } ; }
ZOJ 3690 Choosing number
a[i]表示第i个人选小于等于k的数字的合法种数,a[i]=(k-1)*a[i]+k*b[i]
b[i]表示第i个人选大于等于k的数字的合法种数,b[i]=(m-k)*a[i]+(m-k)*b[i]
a[0]=0,b[0]=1,答案是a[n]+b[n]
建立矩阵快速幂计算即可。
#include<iostream> #include<vector> #include<cmath> #include<map> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<queue> #include<cmath> #include<set> #include<string> #define INF 1000000005 #define LL long long using namespace std; ; ; struct Matrix { int n,m; LL a[MAXN][MAXN]; Matrix(,):n(x),m(y) { memset(a,,sizeof(a)); } ,) { n=x; m=y; memset(a,,sizeof(a)); } Matrix operator * (const Matrix &b)const { Matrix tmp; tmp.clear(n,b.m); ; i<n; ++i) ; j<m; ++j) { ; k<b.m; ++k) { ==a[i][j]) continue;//优化! tmp.a[i][k]+=a[i][j]*b.a[j][k]; tmp.a[i][k]%=M; } } return tmp; } void setOne(int x) { clear(x,x); ; i<x; ++i) a[i][i]=; } }; Matrix one; Matrix quickPow(Matrix mat,int n) { Matrix res=one; while(n) { ) res=res*mat; mat=mat*mat; n=n>>; } return res; } int main() { int n,m,k; one.setOne(); while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)!=EOF) { Matrix mat(,); mat.a[][]=k-,mat.a[][]=k; mat.a[][]=m-k,mat.a[][]=m-k; Matrix f(,); f.a[][]=,f.a[][]=; Matrix s=quickPow(mat,n)*f; printf(][]+s.a[][])%M); } ; }
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