uva11426 gcd、欧拉函数
题意:给出N,求所有满足i<j<=N的gcd(i,j)之和
这题去年做过一次。。。
设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+......+gcd(n-1,n),那么answer=S[N]=f(1)+f(2)+...+f(N)。
先求出每一个f(n)。
令g(n,i)=【满足gcd(x,n)=i且x<N的x的数量】,i是n的约数
那么f(n)=sigma【i*g(n,i)】 (i即gcd的值,g(n,i)为数量)
又注意到gcd(x,n)=i -> gcd(x/i,n/i)=1 -> x/i与n/i互质 -> 满足该条件的x/i有phi(n/i)个
那么再用欧拉函数就可以求出每一个f(n)啦~
如果找n的每一个约数i会有点慢,可以枚举i,令n=2*i,3*i,........(n是i的所有倍数且小于MAXN)
for (int i=1;i<=MX;i++)
for (int n=i*2;n<=MX;n+=i)
f[n]=f[n]+(i*phi[n/i]);
粗体部分的思想很常用,已加入数论模板豪华午餐╮(╯▽╰)╭
#include <stdio.h>
#include <string.h>
//using namespace std;
#define MX 4000005
#define LL long long LL phi[MX],f[MX],S[MX];
int N; void calc_phi(int n)
{
for (int i=;i<=n;i++)
phi[i]=;
phi[]=;
for (int i=;i<=n;i++)
if (!phi[i])
for (int j=i;j<=n;j+=i)
{
if (!phi[j]) phi[j]=j;
phi[j]=phi[j]/i*(i-);
}
} int main()
{
calc_phi(MX); memset(f,,sizeof(f));
for (int i=;i<=MX;i++)
for (int n=i*;n<=MX;n+=i)
f[n]=f[n]+(i*phi[n/i]); S[]=f[];
for (int i=;i<=MX;i++)
S[i]=S[i-]+f[i]; while(~scanf("%d",&N))
{
if (N==) break;
printf("%lld\n",S[N]);
} return ;
}
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