洛谷[LnOI2019]长脖子鹿省选模拟赛 简要题解

传送门

听说比赛的时候T4T4T4标程锅了？？？

WTF换我时间我要写T3啊

于是在T4T4T4调半天无果的情况下260pts260pts260pts收场真的是tcltcltcl。

T1 快速多项式变换(FPT)

题意：给两个整数表示m,f(m)m,f(m)m,f(m)，要求你构造一个nnn次多项式f(x)f(x)f(x),nnn自己定大小，要求所有系数非负，最高项系数不为000。

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思路：

直接mmm进制分解就完了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
const int RLEN=1<<18|1;
inline char gc(){
    static char buf[RLEN],*ib,*ob;
    (ib==ob)&&(ob=(ib=buf)+fread(buf,1,RLEN,stdin));
    return ib==ob?-1:*ib++;
}
inline int read(){
    int ans=0;
    char ch=gc();
    while(!isdigit(ch))ch=gc();
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return ans;
}
typedef long long ll;
ll m,fm,mult;
int main(){
    cin>>m>>fm;
    vector<ll>ans;
    ll tim=0;
    mult=1;
    while(fm/mult>=m)++tim,mult*=m;
    while(1){
        ans.push_back(fm/mult);
        fm%=mult;
        if(mult==1)break;
        mult/=m;
    }
    cout<<ans.size()<<'\n';
    for(ri i=ans.size()-1;~i;--i)cout<<ans[i]<<' ';
    return 0;
}

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T2 加特林轮盘赌

题意：nnn个人坐在一个圆桌上，轮流把加特林对着自己的头，扣动扳机一秒钟。中枪的自动退出，坚持到最后的就是胜利者，每个人在每回合中枪的概率是完全相同的P0P_0P0​,给出P0P_0P0​和nnn，询问kkk号长脖子鹿最终成为唯一幸存者的概率PkP_kPk​。

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思路：

定义状态fi,jf_{i,j}fi,j​表示iii个人玩，算上当前这个人距离第kkk个人还有jjj回合成为赢家的概率。

我们可以推出几个显然的式子：

fi,1=(1−P0)∗fi,nf_{i,1}=(1-P_0)*f_{i,n}fi,1​=(1−P0​)∗fi,n​

fi,2=P0fi−1,1+(1−P0)fi,1f_{i,2}=P_0f_{i-1,1}+(1-P_0)f_{i,1}fi,2​=P0​fi−1,1​+(1−P0​)fi,1​

fi,3=P0fi−1,2+(1−P0)fi,2f_{i,3}=P_0f_{i-1,2}+(1-P_0)f_{i,2}fi,3​=P0​fi−1,2​+(1−P0​)fi,2​

fi,4=P0fi−1,3+(1−P0)fi,3f_{i,4}=P_0f_{i-1,3}+(1-P_0)f_{i,3}fi,4​=P0​fi−1,3​+(1−P0​)fi,3​

                  ......\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ......                  ......

fi,i−1=P0fi−1,i−2+(1−P0)fi,i−2f_{i,i-1}=P_0f_{i-1,i-2}+(1-P_0)f_{i,i-2}fi,i−1​=P0​fi−1,i−2​+(1−P0​)fi,i−2​

fi,i=P0fi−1,i−1+(1−P0)fi,i−1f_{i,i}=P_0f_{i-1,i-1}+(1-P_0)f_{i,i-1}fi,i​=P0​fi−1,i−1​+(1−P0​)fi,i−1​

然后发现这个转移式是带环的。

我们设fi,n=xf_{i,n}=xfi,n​=x，那么把fi,jf_{i,j}fi,j​都表示成Ax+BAx+BAx+B的形式，最后解出xxx即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
const int RLEN=1<<18|1;
inline char gc(){
    static char buf[RLEN],*ib,*ob;
    (ib==ob)&&(ob=(ib=buf)+fread(buf,1,RLEN,stdin));
    return ib==ob?-1:*ib++;
}
inline int read(){
    int ans=0;
    char ch=gc();
    while(!isdigit(ch))ch=gc();
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return ans;
}
const int N=10005;
long double f[2][N],p;
int n,k,tmp;
struct coe{
    long double a,b;
    coe(long double _a=0,long double _b=0):a(_a),b(_b){}
    friend inline coe operator+(const coe&a,const coe&b){return coe(a.a+b.a,a.b+b.b);}
    friend inline coe operator*(const coe&a,const long double&b){return coe(a.a*b,a.b*b);}
}g[N];
inline void solve(int pos){
    g[1]=coe(1-p,0);
    for(ri i=2;i<=pos;++i)g[i]=(coe){0,p*f[tmp^1][i-1]}+g[i-1]*(1-p);
    double X=g[pos].b/(1-g[pos].a);
    for(ri i=1;i<=pos;++i)f[tmp][i]=g[i].a*X+g[i].b;
}
int main(){
    cin>>p>>n>>k;
    if(p==0)return puts("0.0000000000"),0;
    f[tmp=1][1]=1;
    for(ri i=2;i<=n;++i)tmp^=1,solve(i);
    printf("%.10Lf",f[tmp][k]);
    return 0;
}

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T3 东京夏日相会

题意：平面上面有nnn个圆，给出它们的圆心和半径，现在要你找出一个圆，使得它覆盖平面上所有的圆且其半径最小，要求输出圆心坐标和半径（保留两位小数）

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思路：

好像可以模拟退火？

其实可以用一个多边形来拟合每个小圆，然后跑最小覆盖圆。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
const int N=2e5+5;
struct pot{
    double x,y;
    friend inline pot operator+(const pot&a,const pot&b){return (pot){a.x+b.x,a.y+b.y};}
    friend inline pot operator-(const pot&a,const pot&b){return (pot){a.x-b.x,a.y-b.y};}
    friend inline pot operator/(const pot&a,const double&b){return (pot){a.x/b,a.y/b};}
    inline double mod(){return sqrt(x*x+y*y);}
    inline double sqr()const{return x*x+y*y;}
}O,a[30000000];
int n=0,m;
const double pi=acos(-1.0);
inline double dist(const pot&a,const pot&b){return (a-b).mod();}
inline void add_point(double x,double y,double r){
    if(!r){a[++n]=(pot){x,y};return;}
    double det=max(360.0*acos(1-0.003/r)/pi,1.0);
    for(register double ang,i=0;i<360;i+=det)ang=i*pi/180.0,a[++n]=(pot){x+r*cos(ang),y+r*sin(ang)};
}
inline void Set(const pot&a,const pot&b,const pot&c){
    double a1=(a.x-b.x)*2,b1=(a.y-b.y)*2,c1=a.sqr()-b.sqr();
    double a2=(a.x-c.x)*2,b2=(a.y-c.y)*2,c2=a.sqr()-c.sqr();
    O=(pot){(c1*b2-c2*b1)/(a1*b2-a2*b1),(c1*a2-c2*a1)/(b1*a2-b2*a1)};
}
int main(){
    scanf("%d",&m);
    double x,y,r,R;
    while(m--)scanf("%lf%lf%lf",&x,&y,&r),add_point(x,y,r);
    random_shuffle(a+1,a+n+1);
    O=a[1],R=0;
    for(ri i=1;i<=n;++i)if(dist(a[i],O)>R){
        O=a[i],R=0;
        for(ri j=1;j<i;++j)if(dist(a[j],O)>R){
            O=(a[i]+a[j])/2.0,R=dist(a[i],O);
            for(ri k=1;k<j;++k)if(dist(a[k],O)>R)Set(a[i],a[j],a[k]),R=dist(O,a[i]);
        }
    }
    printf("%.2lf %.2lf %.2lf",O.x,O.y,R);
    return 0;
}

---

T4 第二代图灵机

题意：

有一条长度为nnn的纸带，每个位置有一个数字和一种颜色

有两种修改：

1. 在纸带上的一格写数字.
2. 在纸带上的一段区间着色.

有两种询问：

1. 求[l,r][l,r][l,r]中包含所有(一共ccc种)颜色，数字和最小的子区间的数字和。
2. 求[l,r][l,r][l,r]中没有重复颜色，数字和最大的子区间的数字和。

你需要为第二代图灵机编写算法，使他能通过所有的图灵试验。为保证试验的正确性，所有数据都是随机生成的。

---

思路：

注意到数据随机

直接上ODT+ODT+ODT+线段树维护区间最值+++树状数组维护区间和即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
inline int read(){
    int ans=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<1)+(ans<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return ans;
}
const int N=1e5+5;
int n,m,c,a[N],b[N];
struct Node{
    int l,r;
    mutable int v;
    Node(int l,int r=-1,int v=0):l(l),r(r),v(v){}
    friend inline bool operator<(const Node&a,const Node&b){
        return a.l<b.l;
    }
};
set<Node>S;
typedef set<Node>::iterator It;
inline It split(int pos){
    It it=S.lower_bound(pos);
    if(it!=S.end()&&it->l==pos)return it;
    --it;
    if(pos>it->r)return S.end();
    int l=it->l,r=it->r,v=it->v;
    S.erase(it);
    S.insert(Node(l,pos-1,v));
    return S.insert(Node(pos,r,v)).first;
}
inline void assign(int l,int r,int v){
    It R=split(r+1),L=split(l);
    S.erase(L,R),S.insert(Node(l,r,v));
}
namespace Bit{
    int bit[N];
    inline int lowbit(const int&x){return x&-x;}
    inline void update(int x,int v){for(ri i=x;i<=n;i+=lowbit(i))bit[i]+=v;}
    inline int query(int x){int ret=0;for(ri i=x;i;i^=lowbit(i))ret+=bit[i];return ret;}
    inline int query(int l,int r){return query(r)-query(l-1);}
}
namespace SGT{
    #define lc (p<<1)
    #define rc (p<<1|1)
    #define mid (l+r>>1)
    int mn[N<<2],mx[N<<2];
    inline void pushup(int p){mx[p]=max(mx[lc],mx[rc]),mn[p]=min(mn[lc],mn[rc]);}
    inline void build(int p,int l,int r){
        if(l==r){mx[p]=mn[p]=a[l];return;}
        build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r),pushup(p);
    }
    inline int query(int p,int l,int r,int ql,int qr,bool f){
        if(ql<=l&&r<=qr)return f?mn[p]:mx[p];
        if(qr<=mid)return query(lc,l,mid,ql,qr,f);
        if(ql>mid)return query(rc,mid+1,r,ql,qr,f);
        return f?min(query(lc,l,mid,ql,qr,f),query(rc,mid+1,r,ql,qr,f)):max(query(lc,l,mid,ql,qr,f),query(rc,mid+1,r,ql,qr,f));
    }
    inline void update(int p,int l,int r,int k){
        if(l==r){mx[p]=mn[p]=a[l];return;}
        k<=mid?update(lc,l,mid,k):update(rc,mid+1,r,k),pushup(p);
    }
    #undef lc
    #undef rc
    #undef mid
}
inline int query1(int l,int r){
    static int vis[101],cnt=0;
    if(c==1)return SGT::query(1,1,n,l,r,1);
    It R=split(r+1),L=split(l);
    int ret=-1;
    for(ri i=1;i<=c;++i)vis[i]=0;
    cnt=0;
    It ll=L,rr=L,tmp=R;
    --rr;
    --tmp;
    for(;ll!=R;){
        while(rr!=tmp&&cnt!=c){
            ++rr;
            ++vis[rr->v];
            if(vis[rr->v]==1)++cnt;
        }
        if(cnt^c)break;
        while(cnt==c){
            --vis[ll->v];
            if(vis[ll->v]==0){
                if(ret==-1)ret=Bit::query(ll->r,rr->l);
                else ret=min(ret,Bit::query(ll->r,rr->l));
                --cnt;
            }
            ++ll;
        }
    }
    return ret;
}
inline int query2(int l,int r){
    static int vis[101];
    It R=split(r+1),L=split(l);
    int ret=SGT::query(1,1,n,l,r,0);
    It ll=L,rr=L;
    ++rr;
    for(ri pos;rr!=R;){
        vis[ll->v]=pos=ll->r;
        It tmp=ll;
        while(rr!=R){
            if(vis[rr->v]){
                ret=max(ret,Bit::query(max(vis[rr->v],pos),rr->l-1));
                ret=max(ret,Bit::query(max(pos,vis[rr->v]+1),rr->l));
                if(rr->l!=rr->r)break;
                pos=max(pos,vis[rr->v]+1);
                while(tmp->r!=vis[rr->v]){if(vis[tmp->v]==tmp->r)vis[tmp->v]=0;++tmp;}
                vis[rr->v]=rr->r;
                ++rr;
                continue;
            }
            ret=max(ret,Bit::query(pos,rr->l));
            if(rr->l!=rr->r)break;
            vis[rr->v]=rr->r;
            ++rr;
        }
        for(It tt=ll;tt!=rr;++tt)vis[tt->v]=0;
        ll=rr,++rr;
        if(ll==R)break;
    }
    return ret;
}
int main(){
    n=read(),m=read(),c=read();
    for(ri i=1;i<=n;++i)a[i]=read(),Bit::update(i,a[i]);
    S.insert(Node(0,0,0));
    for(ri i=1;i<=n;++i)b[i]=read(),S.insert(Node(i,i,b[i]));
    S.insert(Node(n+1,n+1,c+1));
    SGT::build(1,1,n);
    for(ri op,l,r,x,y;m;--m){
        op=read();
        switch(op){
            case 1:{
                x=read(),y=read();
                Bit::update(x,y-a[x]),a[x]=y,SGT::update(1,1,n,x);
                break;
            }
            case 2:{
                l=read(),r=read();
                assign(l,r,read());
                break;
            }
            case 3:{
                l=read(),r=read();
                cout<<query1(l,r)<<'\n';
                break;
            }
            case 4:{
                l=read(),r=read();
                cout<<query2(l,r)<<'\n';
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}