第二十六个知识点:描述NAF标量乘法算法
第二十六个知识点:描述NAF标量乘法算法
NAF标量乘法算法是标量乘法算法的一种增强,该算法使用了非邻接形式(Non-Adjacent Form)表达,减少了算法的期望运行时间。下面是具体细节:
让\(k\)是一个正整数,\(P\)是一个在域\(F_q\)上椭圆曲线\(E\)上的点。这个计算乘法操作\(Q = k * P\)就是圆曲线上的标量乘法操作(点乘)。一个最简单计算的方法就是基于双倍-加法的霍纳规则的变体。顾名思义,该方法最突出的两个构建块是点加倍和点添加原语。就像名字那样,算法也十分简单。把\(k\)写成
\]
,其中\(k \in \{0,1\},i = 0,1,2,...,n-1\)。下面有两种算法来表达。
INPUT: k = (kt−1,..., k1, k0)2, P ∈ E(Fq).
OUTPUT: k ⋅ P.
Q←∞.
For i from 0 to t−1 do
If ki = 1 then Q←Q+P.
P←2P.
Return(Q).
INPUT: k = (kt−1,..., k1, k0)2, P ∈ E(Fq).
OUTPUT: k ⋅ P.
Q←∞.
For i from t−1 down to 0 do
Q←2Q.
If ki = 1 then Q←Q+P.
Return(Q).
第一个算法计算\(k\)从右到左,第二个算法计算从左到右。在一个二进制表示中,1的数量大概是t/2=m/2。因此期望的运行时间是
\]
。
在1951年,Booth[3]提出了一个新的标量二进制表达被叫做有符号二进制方法。然后Rietweisner[4]证明了每个整数在这种表达下都是独一无二的[5]。尤其,如果\(p=(x,y) \in E(F_q)\),那么有\(-P=(x,x+y)\),如果\(F_q\)是二进制域。同时如果\(F_q\) 的阶大于3,就有\(-P = (x,-y)\)。计算减法就会很有效。这让我们想出了另一种有符号整数的表达方式。\(k = \sum^{l-1}_{i=0}k_i * 2^i\),其中\(k_i \in \{0,+,-\}\)。一个十分有用的有符号整数表达就是不相邻范式(NAF)。NAF的形式就是上面那样,但是规定了 \(k_{l-1} \neq 0\),同时没有两个相邻的\(k_i\)都是0。NAF的长度是\(l\)。
NAF的性质[1]
- 每个正整数k都有独一无二的NAF表达。记作NAF(k)。
- NAF(k)有所有\(k\)的有符号表达最少的非零数字。
- NAF(k)的长度最多比二进制表达多一个。
- 如果NAF(k)的长度是l,那么有\(\frac{2^l}{3}<k<\frac{2^{l+1}}{3}\)。
- 在所有长度为\(l\)的NAF中,非零系数的概率约为1/3。
NAF(k)能够通过下面的算法有效率的计算。
INPUT: A positive integer k.
OUTPUT: NAF(k).
i←0.
While k≥1 do
If k is odd then: ki ←2−(k mod 4), k←k−ki;
Else: ki ←0.
k←k/2, i←i+1.
Return(ki−1, ki−2,..., k1, k0).
最后一个算法给出了我们可以用NAF(k)代替k[1]的二进制表示来修改标量乘法从左到右的二进制方法:
INPUT: Positive integer k, P ∈ E(Fq).
OUTPUT: k ⋅ P.
Based on previous algorithm compute NAF(k) =∑l−1i=0ki⋅2i.
Q←∞.
For i from l−1 down to 0 do
Q←2Q.
If ki = 1 then Q←Q+P.
If ki = −1 thenQ←Q−P.
Return(Q).
基于NAF的第三个和第四个属性,我们能计算上述算法的平均时间复杂度。
\]
[1] Hankerson, Darrel, Scott Vanstone, and Alfred J. Menezes. "Guide to elliptic curve cryptography". Springer Science & Business Media, 2004.
[2] Jonathan Taverne, Armando Faz-Hernández, Diego F. Aranha, Francisco Rodríguez-Henríquez, Darrel Hankerson, Julio López. "Speeding scalar multiplication over binary elliptic curves using the new carry-less multiplication instruction", Journal of Cryptographic Engineering, Vol. 1, No 3, pp. 187-199, 2011.
[3] A.D.Booth, “A Signed binary multiplication technique”, Journal of Applied Mathematics, Vol. 4. No. 2, pp.236-240, 1951
[4] G.W.Reitwiesner, “Binary Arithmetic”, Advances in computers, Academic Press, Vol. 1, pp.231-308, 1960
[5] Karthikeyan, E. “Survey of elliptic curve scalar multiplication algorithms.” International Journal of Advanced Networking and Applications, Vol. 4, No 2, pp. 1581-1590, 2012
第二十六个知识点:描述NAF标量乘法算法的更多相关文章
- 第三十六个知识点:Index Calculus算法
第三十六个知识点:Index Calculus算法 我们这篇博客继续描述一种数学攻击,这种数学攻击被叫做Index Calculus(IC)算法. 注意这里Index Calculus算法没有找到合适 ...
- 第十六个知识点:描述DSA,Schnorr,RSA-FDH的密钥生成,签名和验证
第十六个知识点:描述DSA,Schnorr,RSA-FDH的密钥生成,签名和验证 这是密码学52件事系列中第16篇,这周我们描述关于DSA,Schnorr和RSA-FDH的密钥生成,签名和验证. 1. ...
- 第二十四个知识点:描述一个二进制m组的滑动窗口指数算法
第二十四个知识点:描述一个二进制m组的滑动窗口指数算法 简单回顾一下我们知道的. 大量的密码学算法的大数是基于指数问题的安全性,例如RSA或者DH算法.因此,现代密码学需要大指数模幂算法的有效实现.我 ...
- NeHe OpenGL教程 第二十六课:反射
转自[翻译]NeHe OpenGL 教程 前言 声明,此 NeHe OpenGL教程系列文章由51博客yarin翻译(2010-08-19),本博客为转载并稍加整理与修改.对NeHe的OpenGL管线 ...
- Gradle 1.12用户指南翻译——第二十六章. War 插件
其他章节的翻译请参见: http://blog.csdn.net/column/details/gradle-translation.html 翻译项目请关注Github上的地址: https://g ...
- 大白话5分钟带你走进人工智能-第二十六节决策树系列之Cart回归树及其参数(5)
第二十六节决策树系列之Cart回归树及其参数(5) 上一节我们讲了不同的决策树对应的计算纯度的计算方法, ...
- 第二十五个知识点:使用特殊的素数定义$GF(p)$和$GF(2^n)$的方法。
第二十五个知识点:使用特殊的素数定义\(GF(p)\)和\(GF(2^n)\)的方法. 在我们之前看到的博客中,当实现密码学方案时,一个最频繁调用的操作就是模运算.不幸的是,尽管模块化的使用非常广泛, ...
- 第二十八个知识点:什么是公钥密码学的IND-CCA安全定义?
第二十八个知识点:什么是公钥密码学的IND-CCA安全定义? 我们将在这篇博客中讨论公钥加密的IND-CCA安全. IND-CCA安全代表选择明文的不可伪造性.这样的安全方案的思想就是给定一个密文,攻 ...
- SQL注入之Sqli-labs系列第二十六关(过滤空格、注释符、逻辑运算符注入)和第二十六A
开始挑战第二十六关(Trick with comments and space) 0x1看看源代码 (1)过滤了# or and /**/ / \ ,通过判断也过滤了空格 (2)这样一来只能看 ...
随机推荐
- C++中的排序
下面网站解释比较好 http://www.cnblogs.com/heyonggang/archive/2013/11/03/3404371.html 1. qsort(C中的函数加上stdlib.h ...
- Spark(八)【广播变量和累加器】
目录 一. 广播变量 使用 二. 累加器 使用 使用场景 自定义累加器 在spark程序中,当一个传递给Spark操作(例如map和reduce)的函数在远程节点上面运行时,Spark操作实际上操作的 ...
- 对于Linq关键字和await,async异步关键字的扩展使用
最近在看neuecc大佬写的一些库:https://neuecc.medium.com/,其中对await,async以及linq一些关键字实现了自定义化使用, 使其不需要引用对应命名空间,不需要多线 ...
- Gradle—Android配置详解
参考[1]彻底弄明白Gradle相关配置 [2]Android Studio gradle配置详解
- android studio 使用 aidl(三)权限验证
这篇文章是基于android studio 使用 aidl (一) 和 android studio 使用 aidl(二) 异步回调 下面的代码都是简化的,如果看不懂请先移步上2篇文章 网上的东西太坑 ...
- 01 nodejs MVC gulp 项目搭建
文本内容 使用generator-express创建nodejs MVC DEMO 使用gulp实时编译项目 npm安装二进制包,无须再编译wget https://nodejs.org/dist/v ...
- Vue API 3 (模板语法 ,指令)
条件 v-if v-if 指令用于条件性地渲染一块内容.这块内容只会在指令的表达式返回 truthy 值的时候被渲染. v-show v-show 指令也是用于根据条件展示一块内容.v-show 只是 ...
- LR中的快捷建
Ctrl+F 弹出搜索对话框 CTRL+F8 弹出view tree 界面 (寻找关联) 觉得不错的可关注微信公众号在手机上观看,让你用手机边玩边看
- C语言编辑链接
库函数(Library Files)库函数就是函数的仓库,它们都经过编译,重用性不错.通常,库函数相互合作,来完成特定的任务.比如操控屏幕的库函数(cursers和ncursers库函数),数据库读取 ...
- Windows服务器java.exe占用CPU过高问题分析及解决
最近在测试一个用java语言实现的数据采集接口时发现,接口一旦运行起来,CPU利用率瞬间飙升到85%-95%,一旦停止就恢复到40%以下,这让我不得不面对以前从未关注过的程序性能问题. 在硬着头皮查找 ...