Comet OJ Contest #13 D

Comet OJ Contest #13 D

\(\displaystyle \sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} a^{i} b^{n-2 i}\left(\begin{array}{c}{n} \\ {2 i}\end{array}\right)\)

$ T \leq 10^4 , n , m , p \leq 10^{18} $

注意，由于 $ p $ 不一定是质数，而且数据范围看起来很快速幂所有貌似只能快速幂。

这个式子可以化成：

\(\displaystyle \sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} {\sqrt a}^{2i} b^{n-2 i}\left(\begin{array}{c}{n} \\ {2 i}\end{array}\right)\)

然后其实就是 $ (\sqrt a + b)^n $ 的偶数次项的和。

偶数次项其实可以化成 $ \frac{1}{2} ( (\sqrt a + b)^n - (\sqrt a - b) ^ n ) $ 当然这是当 $ n $ 为偶数时，如果是奇数要反过来。

这个式子可以直接类似复数的快速幂，因为我们知道最后一定不会剩下根号。

当然，也可以看成一个特征方程的根，就是一个 $ f(1) = 1 , f(2) = b , f(n) = 2bf(n - 1) + (-b^2+a) f(n - 2) $。

/*Heroes Never Die!*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define int __int128_t
#define ll __int128_t
#define N 2
struct mtrx{
	ll a[3][3];
} tmp , cur , ans ;
ll a , b , P;
void mul( mtrx& a , mtrx& b ) {
	memset(tmp.a,0,sizeof tmp.a);
	for( ll i = 0 ; i < N ; ++ i )
		for( ll p = 0 ; p < N ; ++ p )
			if(a.a[i][p])
			for( ll j = 0 ; j < N ; ++ j )
				tmp.a[i][j] += a.a[i][p] * b.a[p][j] , tmp.a[i][j] %= P;

}

void power( ll n ) {
	memset(cur.a , 0 , sizeof cur.a) , memset(ans.a,0,sizeof ans.a);
	cur.a[0][0] = 2 * b % P , cur.a[0][1] = ( - b * b % P + a + P ) % P;
	cur.a[1][0] = 1;
	ans.a[0][0] = 1, ans.a[1][1] = 1;
	while( n ) {
		if( n & 1 ) mul( ans , cur ) , ans = tmp;
		mul( cur , cur ) , cur = tmp , n >>= 1 ;
	}
}
ll n;
inline __int128_t read()
{
   int X=0,w=0; char ch=0;
   while(!isdigit(ch)) {w|=ch=='-';ch=getchar();}
   while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
   return w?-X:X;
}
inline void print(__int128_t x)
{
   if(x<0){putchar('-');x=-x;}
   if(x>9) print(x/10);
   putchar(x%10+'0');
}
signed main() {
	//freopen("input","r",stdin);
	signed T; cin >> T;
	while( T-- ){
		n = read() , a = read() , b = read( ) , P = read();
		power(n - 1);
		print((ans.a[0][0] * b % P + ans.a[0][1]) % P); puts("");
	}
}
//qwq