(邹博ML)数学分析与概率论

机器学习入门

深度学习和机器学习？

深度学习在某种意义上可以认为是机器学习的一个分支，只是这个分支非常全面且重要，以至于可以单独作为一门学科来进行研究。

回忆知识

求解S.

对数函数的上升速度

我们使用Python简单写一段代码可以很容易获得结果。但是我们使用数学来分析：

令$f(x)=log_ax$

则：

那么我们需要考虑：

构造数列：

我们很容易推出：

根据前文，已经证明了数组${a_n}$单增有上界，因此，必有极限，记作e。

根据夹逼定理，函数极限存在，为e.

导数

简单来说，导数就是曲线的斜率，是曲线变化快慢的反应
二阶导数是斜率变化快慢的反应，表征曲线凹凸行
- 二阶导数连续的曲线，往往称之为“光顺”的
根据可以得到函数$f(x)=lnx$的导数，进而进一步通过换底公式，反函数求导等，得到其他初等函数的导数

常用函数的导数

应用1

已知函数$f(x)=x^x,x>0$,

求f(x)的最小值

此处直接求导并不合适，我们可以取对数在求导。

$N^{\frac{1}{log_2N}}$=？

在计算机算法跳跃表Skip List的分析中，用到了该常数。

背景：跳表是支持增删改查的动态数据结构，能够达到与平衡二叉树、红黑树近似的效率，而实现代码简单

求解：

积分应用2

证明：

在算法复杂度分析中，任何一种关键字比较的排序算法时间复杂度为$NlgN$，可由上式推出。

解：$\ln N!=\sum_{i=1}^{N}\ln i\approx \int_{1}^{N}\ln xdx$

我们采用分部积分法：

Taylor公式-Maclaurin公式

Taylor公式应用1

数值计算：初等函数值的计算（在原点展开）

在实践中，往往需要做一定程度的变换。

给定正实数x,计算$e^x$=？

一种可行的思路是求整数k和小数r，使得：

$x= k\times \ln 2+2, |r|\le0.5\times \ln 2$

从而：

\[e^x= e^{ k\times \ln 2+2}
\]

\[=e^{ k\times \ln 2}\cdot e^r
\]

\[=2^k \cdot e^r
\]

Taylor公式应用2

考察Gini系数的图像、熵、分类误差率三者之间的关系

将$f(x)=-\ln x$在x=1出一阶展开，忽略高阶无穷小，得到$f^{'}(x)\approx1-x$

具体细节在决策树中描述。

方向导数

如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的，那么，函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有：

其中，$\varphi$为x轴到方向L的转角。

梯度

设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，这对于每一个点P(x,y)$\in$D，向量：

为函数z=f(x,y)在点P的梯度，记作$gradf(x,y)$。
- 梯度的方向是函数在该点变化最快的方向。
- 梯度下降法
概率论
- 对概率论的认识
  
  P(x)$\in$[0,1]
  - p=0，事件出现的概率为0$\to$事件不会发生吗？
    
    我们希望概率为0，但是实际上定义域为连续的。比如投针到桌子上，我们可以认为针的尖端为0，这样理论上桌面被投中的概率为0，但是，实际上还是会被投中。当然，这是极限情况，我们可以基本无视。
  - 若x为离散/连续变量，则p(x=$x_0$)表示$x_0$发生的概率/概率密度。
- 累计分布函数
  - $\Phi$一定为单增函数
  - min($\Phi(x)$)=0，max($\Phi(x)$)=0。
- 将值域为[0,1]的某单增函数y=F(x)看成:X事件的累积概率函数（CDF）
  - 若F(x)可导，则f(x)=F'(x)为某概率密度函数（PDF）。

古典概型

举例：将n个不同的球放入N(N$\ge$n)个盒子中，假设盒子容量无限，求事件A{每个盒子至多有一个球}的概率。

解：

基本事件总数：

第一个球，N种放法
第二个球，N种放法
......
共有：$N^n$种放法

每个盒子至多放1个球的事件数：

第一个球，N种放法
第二个球，N-1种放法
......
共有：N(N-1)(N-2)...(N-n+1)

$P(A)=\frac{P_N^n}{N^n}$

生日悖论

假定班内50人，假设一年365天，则至少有2人生日相同的概率是多少？

那么n=50，N=365。只需1-（每个人生日都不同）最终结果97%。

这和我们的经验出现偏差，告诉我们，我们的先验不一定正确。

装箱问题

将12件正品和3件次品随机装在3个箱子中，每箱子装5件，则每箱中恰有一件次品的概率是多少？

解：

组合数

装箱问题与组合数的关系

组合数的背后

最终结果就是信息论中的信息熵。

概率公式

条件概率：

全概率公式：

贝叶斯(Bayes)公式：

需要掌握各种分布

二项分布Bernoulli distribution
- 期望np,方差np(1-p)
- 离散的
泊松分布Poisson distribution
- 可以通过泰勒展开式获得泊松分布
- 期望方差均为$\lambda$
- 离散的
均匀分布
- 期望0.5(a+b)，方差$(b-a)^2/12$
- 连续的
指数分布
- 无记忆性
正态分布（高斯分布）

指数族

某一函数可以写作类似如下指数形式：

这个函数描述的分别可以称为指数族分布。例如Bernoulli分布、高斯分别、泊松分布，伯努利分布、Gamma分布等。

Bernoulli分布：

在推导过程中出现了logistic方程：

这也就是sigmoid函数，图像如下：

sigmoid函数的导数：