洛谷 P2680 [NOIP2015 提高组] 运输计划

链接：P2680

---

题意：

在树上把一条边边权变为0使得最长给定路径最短

---

分析：

最大值最小可以想到二分答案，对于每一个mid，寻找所有大于mid的路径，再寻找是否存在一条边使得删去它后大于mid的路径都小于等于mid，可以将这个条件分成两部分。

1. 所有大于mid的路径都经过该边。可以想到统计路径数和每条边被经过的次数，前者可以在添加大于mid的路径时统计，后者则可以用树上边的差分搞定。

2. 每条大于mid的路径删去这条边后都小于等于mid。我们发现在添加路径时如果大于mid的路径数为零则任何一条边根本不用删都可以直接满足条件，那么可以直接二分下去；如果路径数不为零，那么最长路径一定会被添加进来，而且在（1）的条件下，如果最长路径删去这条边都小于等于mid，那么每条大于mid的路径删去这条边后都小于等于mid，所以条件（2）变为最长路径减该边长度小于等于mid，对于两个端点的路径长度，只需要倍增求一下LCA，同时记录路径最大值。每条边的长度以及树上前缀和都可以在预处理LCA时一起解决。

然后我们发现这道题就做完了 。最后注意一下细节，比如二分的左边要从0开始。

那么我们就可以happily AC了。

---

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
inline int read(){
	int p=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){p=p*10+c-'0';c=getchar();}
	return f*p;
}//快读
struct edge{
	int b;
	int w;
	int next;
}e[600005];
int en,head[300005];//邻接表存图
int d[300005],f[300005][19];//倍增求LCA
int ev[300005];//记录每条边的长度并存到子节点中
int cf[300005];//树上边差分
int ans[300005];//通过差分得每条边经过的次数
long long dist[300005];//根到节点的距离
int x[300005],y[300005];
int t[300005],len[300005];//对于每次任务，x,y记录其路径端点,t为x,y的LCA,len为其长度
int maxn;//最大任务路径长度
void insert(int a,int b,int v){
	e[++en].b=b;
	e[en].next=head[a];
	e[en].w=v;
	head[a]=en;
}//存边
void dfs(int fa,int now){
	f[now][0]=fa;
	d[now]=d[fa]+1;
	for(int i=0;i<=17;i++)
		f[now][i+1]=f[f[now][i]][i];//LCA
	for(int x=head[now];x;x=e[x].next){
		int v=e[x].b;
		if(v==fa) continue;
		ev[v]=e[x].w;//化边为点
		dist[v]=dist[now]+e[x].w;//节点到根的距离
		dfs(now,v);
	}
}//dfs同时预处理LCA,化边为点,节点到根的距离
int LCA(int x,int y){
	if(d[x]<d[y])swap(x,y);
	for(int i=18;i>=0;i--){
		if(d[f[x][i]]>=d[y])x=f[x][i];
		if(x==y) return x;
	}
	for(int i=18;i>=0;i--){
		if(f[x][i]!=f[y][i]){
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	}
	return f[x][0];
}//倍增求LCA
int getans(int fa,int now){
	int x=head[now];
	while(x!=0){
		if(e[x].b!=fa)
			ans[now]+=getans(now,e[x].b);
		x=e[x].next;
	}
	ans[now]+=cf[now];
	return ans[now];
}//树上边差分得每条边经过的次数
int erfen(int l,int r){
	if(l==r)
		return l;
	memset(cf,0,sizeof(cf));
	memset(ans,0,sizeof(ans));//清零
	int mid=(l+r)/2;//二分最小的最大值
	int tim=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(len[i]>mid){//把所有大于mid的路径丢进去
			cf[x[i]]++;
			cf[y[i]]++;
			cf[t[i]]-=2;
			tim++;//记录路径数
		}
	}
	if(tim==0)//没有比mid大的路径,不用删边都满足题意,mid大了
		return erfen(l,mid);
	int tt=getans(0,1);//差分
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(ans[i]==tim&&maxn-ev[i]<=mid)
        //ans[i]==tim 意为 所有比mid大的路径都经过这条边 即条件1
        //maxn-ev[i]<=mid 意为 删边后最长路径满足mid 即条件2
			return erfen(l,mid);//删边后满足题意,mid大了
	return erfen(mid+1,r);//不满足mid,mid小了
}//二分答案
int main(){
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<n;i++){
		int a,b,c;
		a=read();b=read();c=read();
		insert(a,b,c);
		insert(b,a,c);
	}//存边
	dfs(0,1);//预处理
	for(int i=1;i<=m;i++){
		x[i]=read();y[i]=read();
		t[i]=LCA(x[i],y[i]);
		len[i]=dist[x[i]]+dist[y[i]]-2*dist[t[i]];//算路径长度
		maxn=max(maxn,len[i]);//记录最长距离
	}
	int l=erfen(0,maxn);//左边一定要从0开始,不能排除答案为0
	printf("%d",l);
	return 0;
}

---

题外话：

蒟蒻的第一篇博客！！！发现题解有大佬和我做法一样，果然还是我太弱了