一.问题重述

现有字符串S1,求S1中与字符串S2完全匹配的部分,例如:

S1 = "ababaababc"

S2 = "ababc"

那么得到匹配的结果是5(S1中的"ababc"的a的位置),当然如果S1中有多个S2也没关系,能找到第一个就能找到第二个。。

-------

最容易想到的方法自然是双重循环按位比对(BF算法),但在最坏的情况下BF算法的时间复杂度达到了m * n,这在实际应用中是不可接受的,于是某3个人想出来了KMP算法(KMP是三个人的名字。。)

二.KMP算法具体过程

(先不要着急想看KMP算法的官方定义,很难看懂的,所以这里干脆不给定义了。。)

认真审视一下S2 = "ababc",很重要的一点是:开头出现了ab,中间部分又出现了ab(先记住这个细节)

现在假定一个时刻:

此时abab部分匹配成功,S1的位置指针指向了a,当前正在做的事情是a与c比对,结果是匹配失败

  • 如果是BF算法,那么下一步是S1的位置指针回溯到第二位的b,S2的位置指针重置到开头的a,然后b与a比对,然后。。
  • 如果是KMP算法,那么下一步是S1位置指针不变(指向a),然后查跳转表(next表)得到跳转值2,再把S2的指针移动到第二个a上,接下来比对a与a,然后。。

KMP的步骤看不明白没关系,毕竟我们还没有解释跳转表(next表)是什么,不过在这里我们只用关注结果就好了:

  • BF算法中S1的指针向左移动了(回溯)
  • KMP算法中S1的指针没有往回走(无回溯)

因为KMP算法不存在回溯过程,所以节省了不少时间(S1的指针只需要从头走到尾就可以了)

-------

再看看KMP算法的核心——跳转

为什么可以跳转?注意观察一下S2 = "ababc",这个串的特点是:开头出现了ab,中间部分又出现了ab(还记得这个细节吗),详细解释一下:

如果S2末尾的c与S1的第k位匹配失败,我们可以推断出两个信息:

  1. 本趟匹配失败了(c匹配失败意味着S1中的的某一部分不能匹配S2)
  2. S1中第k位前的4位一定是abab(只有S2中的abab与S1中的某一部分匹配成功后才可能出现S2的c与S1第k位的比对)

如果我们忽略第2点,那么下一步是S1指针回溯,也就是BF算法将要做的;如果我们抓住第2点,再加上S2串的特点:

  • 开头出现了ab,中间部分又出现了ab(再重申一遍)

就可以得到KMP算法(相当于S1中第k位之前的ab已经和S2开头的ab匹配了,所以可以直接跳转到S1的第k位与S2的第3位a比对)

好像有点明白了,那么这个跳转值2是怎么得到的?多举一些例子:

  • S2 = "aba"最后一位的跳转值为0
  • S2 = "abaa"最后一位的跳转值为1
  • S2 = "abcabc"最后一位的跳转值为2

发现什么了吗?没错,我们求S2中第x位(此处的x是从0开始算的)的跳转值的过程是这样的:

  1. 如果x = 0,那么S2[x]的跳转值为-1(首元的跳转值为-1)
  2. 如果x = 1,那么S2[x]的跳转值为0(第二个元素的跳转值为0)
  3. 如果S2[x - 1] = S2[0],那么S2[x]的跳转值为1
  4. 如果不满足第3条,那么跳转值为0
  5. 如果S2[x - 1] = S2[0] 并且 S2[x - 2] = S2[1],那么S2[x]的跳转值为2
  6. 如果S2[x - 1] = S2[0] 并且 S2[x - 2] = S2[1] 并且 S2[x - 3] = S2[2],那么S2[x]的跳转值为3
  7. 。。。

人用眼睛按照上面的方法“目测”跳转值是最快的,但同样的过程用于计算机的话就不那么容易实现了,计算机有计算机喜欢的方式,一篇简短的博文解释了这种方式

简单的说就是——“递推”,即由已知的首项为-1,第二项为0,递推得到后面所有项,详细过程不再赘述,上面的链接博文写的非常清楚

-------

下面可以得出KMP算法的具体过程了:

  1. 根据模式串S2构造跳转表(next表)
  2. 从S1头开始比对,查next表得跳转值,S1指针向右移动继续比对,直至S1末尾

说白了又是在用空间换时间(next表占用的空间),当然,在此算法中next表是长度等于模式串S2长度的线性表而已,并不需要太多空间

三.实现next函数

next函数用来构造next表(跳转表),如何构造next表才是KMP算法的关键(如果不关注KMP的证明过程的话。。)

我们可以按照链接博文的方式自己实现next函数:

//参考例子:http://blog.sina.com.cn/s/blog_96ea9c6f01016l6r.html

#include<stdio.h>

void getNext(char a[], int n, int next[]){
int i, j; next[0] = -1;//首元跳转值为-1
next[1] = 0;//第二个元素跳转值为0 for(i = 2; i < n; i++){
j = i - 1; //递推得到next表中剩余值
while(j != -1){
if(a[i - 1] == a[next[j]]){
next[i] = next[j] + 1;
break;
}
else{
j = next[j];
}
}
}
} main(){
char a[] = "abaabcac";//模式串S2
int next[8] = {0};//跳转表,初始化为全0
int i; //构造next表
getNext(a, 8, next);
//输出next表
for(i = 0; i < 8; i++){
printf("%d ", next[i]);
}
printf("\n");
}

当然,上面的getNext函数好像仍然不够高效(双重循环..),但优点是易于理解。下面看看书上给的next函数:

#include<stdio.h>

void getNext(char a[], int n, int next[]){
int i, j;
i = 0;
next[0] = -1;//首元跳转值为-1
j = -1; //递推得到next表中剩余值
while(i < n){
if(j == -1 || a[i] == a[j]){
++i;
++j;
next[i] = j;
}
else{
j = next[j];
}
}
} main(){
char a[] = "abaabcac";//模式串S2
int next[8] = {0};//跳转表,初始化为全0
int i; //构造next表
getNext(a, 8, next);
//输出next表
for(i = 0; i < 8; i++){
printf("%d ", next[i]);
}
printf("\n");
}

二者的计算结果是一样的,但书上给的算法消除了双重循环,不过这样做的结果只是让代码变得更复杂了而已,没有任何实质性的优化

什么?消除了双重循环竟然没有提高效率?不可能吧?我们不妨用计数器来验证一下:

void getNext(char a[], int n, int next[]){
int i, j;
int counter = 0;/// next[0] = -1;//首元跳转值为-1
next[1] = 0;//第二个元素跳转值为0 for(i = 2; i < n; i++){
j = i - 1; //递推得到next表中剩余值
while(j != -1){
if(a[i - 1] == a[next[j]]){
next[i] = next[j] + 1;
counter++;///
break;
}
else{
j = next[j];
counter++;///
}
}
} printf("\n%d\n", counter);///
} void getNext(char a[], int n, int next[]){
int i, j;
int counter = 0;///
i = 0;
next[0] = -1;//首元跳转值为-1
j = -1; //递推得到next表中剩余值
while(i < n){
if(j == -1 || a[i] == a[j]){
++i;
++j;
next[i] = j;
counter++;///
}
else{
j = next[j];
counter++;///
}
} printf("\n%d\n", counter);
}

P.S.我们在具体操作的部分(最内部的if块与else块)插入了counter++;这样得到的结果才是可比的(算法进行了多少次具体操作)

运行结果如下:

左图是我们自己实现的next函数计数结果,少的这4步是外层循环次数的差异(书上的算法是n次,我们的算法是n-2次),如果我们的算法外层循环次数也是n的话,也需要14次具体操作(我们只是做了一个简单的优化)

两个next函数只是形式不同,其内部操作顺序是完全相同的,弄清楚了next函数,KMP算法就没什么难点了(如果不关心S1的指针不用回溯的原因的话,确实只有这一个难点..)

四.KMP算法正确性的证明

(本文不在此展开,以后理解了的话可能会在此处补充缺失的内容,详细解释为什么S1的指针不用回溯,为什么之前的部分不可能再匹配。。。)

不过单纯关注“实现”的话,我们只要理解了next函数就完全可以轻松实现KMP算法了(至于为什么可以这么做,怎么证明这样做是对的。。这是数学家的事情)

五.总结

KMP算法的核心是next表的构造过程,而构造next表的关键思想就是“递推”,理解了这个,完全可以分分钟写出KMP算法。。

一点题外话:

KMP算法也有变体,本文讨论的是最原始的KMP算法,常见的变体有:

  • next表首元为0(而不是-1),最终得到的结果就是给我们的next表中每个元素都+1,只是约定不同而已(从0开始与从1开始),并没有实质性的差别
  • next表中有多个-1(我们的结果中有且只有一个-1,也就是next表首元),这是一种实质性的优化,能有效的提高效率。其实也就是在构造next表的时候比我们多做了一步,构造过程变复杂了一点点,但匹配算法的比对次数减少了

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