【NOIP2017】逛公园 最短路+DP

诶，去年场上不会处理$0$的环，只拿了$60$有点可惜。

我们先不管边边权为$0$的边。

我们先跑一次最短路，令$dis[u]$表示从$1$至$u$的最短路的长度。

那么根据题目的要求，从起点走到$u$号点的路径长度只可能在区间$[dis[u],dis[u]+k]$中。

令$f[i][j]$表示当前从起点走到$i$，行走的路程为$dis[i]+j$的方案数。

不妨发现这个东西可以通过类似分层图最短路的方式进行更新，然后就直接更新就行了。

然而这一题中有部分点存在边权为$0$的边，一旦走入一个$0$环的话采用上述的方法会$TLE$。

于是我们把上面的通过分层图最短路的更新方式，更换为记忆化搜索，我们在当前搜索的路径上打上标记，然后若走到之前标记过的点，那么直接输出$-1$退出即可。这种方式可以有效避免将无需经过的零环纳入考虑范围内。

（可能是个人写法的原因），经过$1$的零环需要特判，直接在最短路里判掉就好了。

然后就没了。时间复杂度：$O(mk+m log n)$。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M 100005
 using namespace std;
 
 struct edge{int u,v,next;}e[M*]={}; int head[M]={},head1[M]={},use=;
 void add(int x,int y,int z){use++;e[use].u=y;e[use].v=z;e[use].next=head[x];head[x]=use;}
 void add1(int x,int y,int z){use++;e[use].u=y;e[use].v=z;e[use].next=head1[x];head1[x]=use;}
 int n,m,k,MOD;
 
 struct node{
     int x,dis;
     node(){x=dis=;}
     node(int xx,int ddis){x=xx; dis=ddis;}
     friend bool operator <(node a,node b){return a.dis>b.dis;}
 }a[M];
 priority_queue<node> q;
 int vis[M]={},dis[M]={},v[M][]={},f[M][]={},in[M][]={};
 int dij(){
     q.push(node(,));
     while(!q.empty()){
         node U=q.top(); q.pop();
         int u=U.x;
         if(vis[u]) continue;
         vis[u]=; dis[u]=U.dis;
         for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
             if(dis[u]+e[i].v==&&e[i].u==) return ;
             if(!vis[e[i].u]) q.push(node(e[i].u,dis[u]+e[i].v));
         }
     }
     return ;
 }
 
 int dfs(int x,int p){
     if(f[x][p]!=-) return f[x][p];
     if(in[x][p]) return -;
     int res=; in[x][p]=;
     for(int i=head1[x];i;i=e[i].next){
         int v=dis[x]-dis[e[i].u]+p-e[i].v;
         if(<=v&&v<=k){
             int now=dfs(e[i].u,v);
             if(now==-) return -;
             res=(res+now)%MOD;
         }
     }
     f[x][p]=res; in[x][p]=;
     return res;
 }
 
 int Main(){
     memset(vis,,sizeof(vis)); memset(dis,,sizeof(dis));
     memset(f,-,sizeof(f)); memset(e,,sizeof(e));
     memset(head,,sizeof(head)); memset(head1,,sizeof(head1)); use=;
     memset(in,,sizeof(in));
     memset(v,,sizeof(v));
     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&MOD);
     for(int i=;i<=m;i++){
         int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
         add(x,y,z);
         add1(y,x,z);
     }
     if(dij()==){printf("-1\n"); return ;}
     int ans=; f[][]=;
     for(int i=;i<=k;i++){
         int now=dfs(n,i);
         if(now==-){
             printf("-1\n");
             return ;
         }
         ans=(ans+now)%MOD;
     }
     printf("%d\n",ans);
 }
 
 int main(){
     int cas; cin>>cas;
     while(cas--) Main();
 }