【xsy1201】 随机游走 高斯消元

题目大意：你有一个$n*m$的网格（有边界），你从$(1,1)$开始随机游走，求走到$(n,m)$的期望步数。

数据范围：$n≤10$，$m≤1000$。

我们令 $f[i][j]$表示从$(1,1)$随机游走到$(i,j)$的期望步数。不难推出：

如果$(i,j)$与边界不想邻，则有 $f[i][j]=\frac{1}{4}(f[i-1][j]+f[i+1][j]+f[i][j-1]+f[i][j+1])+1$

如果$(i,j)$与边界相邻，但不在四个角，则把式子中的$\frac{1}{4}$改为$\frac{1}{3}$，并且将括号中的四个项删掉一个。

如果$(i,j)$在非起点的三个角上，则式子也显然。

显然这是一个$nm$元一次方程，我们可以考虑用高斯消元在$O(n^3m^3)$的时间内完成求解，这样子可以拿到$50$分的好成绩。

我们令$x_{(i-1)m+j}$来表示$f[i][j]$。

那么式子就变成了$x_i=\frac{1}{4}(x_{i-1}+x_{i+1}+x_{i+m}+x_{i-m})+1$

然后我们会发现，第$i$条式子只有$[i-m,i+m]$是有值的。

根据高斯消元的特征，第i条式子中包含$x_{[i-m,i)}$的项值会被消掉，那么实际上存在项的部分为$x_{[m,i+m]}$。

我们又发现，式子中包含$x_i$的，只可能第$i-m$条式子至第$i+m$条式子。

那么，我们在高斯消元时，并不需要把对所有式子进行处理，只需要处理第$i$条式子的后$m$条式子的第$i$项至第$i+m$项即可。

时间复杂度降低至$O(nm^3)$，你可以得到$80$分的好成绩。

考虑到$m$很大，依然无法求解，考虑到$n$很小，我们将$n$和$m$进行$swap$，然后再去求解即可。

时间复杂度降低至$O(n^3m)$。可以得到$100$分的好成绩。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M 10005
 #define ok(x,y) (1<=(x)&&(x)<=n&&1<=(y)&&(y)<=m)
 #define ok2(x,y) (ok(x,y)&&(!(x==1&&y==1)))
 #define D double
 using namespace std;
 
 D *a[M];int n,m;
 
 D get(int i,int j){
     D hh=;
     if(ok(i-,j)) hh++;
     if(ok(i+,j)) hh++;
     if(ok(i,j+)) hh++;
     if(ok(i,j-)) hh++;
     return /hh;
 }
 
 void newhh(int x){
     int i=(x-)/m+,j=(x-)%m+;
     a[x]=new D[n*m+];
     memset(a[x],,sizeof(D)*(n*m+));
     D hh=get(i,j);
     if(ok2(i-,j)) a[x][x-m]=-hh;
     if(ok2(i+,j)) a[x][x+m]=-hh;
     if(ok2(i,j+)) a[x][x+]=-hh;
     if(ok2(i,j-)) a[x][x-]=-hh;
     a[x][x]=; a[x][n*m+]=;
 }
 
 int Main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     if(n==&&m==) {printf("0\n"); return ;}
     if(m>n) swap(n,m);
     for(int i=;i<=m+;i++) newhh(i);
     for(int i=;i<n*m;i++){
         for(int j=i+;j<=min(i+m,n*m);j++){
             D hh=a[j][i]/a[i][i];
             for(int k=i;k<=min(i+m,n*m);k++)
             a[j][k]-=hh*a[i][k];
             a[j][n*m+]-=hh*a[i][n*m+];
         }
         delete[] a[i];
         if(i+m+<=n*m) newhh(i+m+);
     }
     D ans=a[n*m][n*m+]/a[n*m][n*m];
     delete[] a[n*m];
     printf("%.0lf\n",ans);
 }
 
 int main(){
     int cas; cin>>cas;
     while(cas--) Main();
 }