洛谷.2619.[国家集训队2]Tree I(带权二分 Kruskal)
\(Description\)
给定一个无向带权连通图,每条边是黑色或白色。求一棵最小权的恰好有K条白边的生成树。
\(Solution\)
Kruskal是选取最小的n-1条边。而白边数有限制,考虑为其设额外边权C。
随着C增大,选的白边数应是不增的。可以二分求一个C值使得此时恰好选择K条边。选取时应优先选白边,因为多了还可以用黑边替换,少了只能减少C。
可能的问题是,C=mid时白边数>K,C=mid+1时白边数<K,因为有很多黑边与+mid后的白边权值想等。可以用这些黑边替换掉多余的白边,所以答案应是减K*mid(保留黑边)。
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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 100000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
const int N=5e4+5,M=1e5+5;
int n,m,K,fa[N],Ans;
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
int read();
struct Edge
{
int fr,to,val,col;
inline void Init(){
fr=read()+1, to=read()+1, val=read(), col=read();
}
bool operator <(const Edge &x)const{
return val==x.val?col<x.col:val<x.val;
}
}e[M];
inline int read()
{
int now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now;
}
int GetFa(int x){
return x==fa[x]?x:fa[x]=GetFa(fa[x]);
}
bool Check(int x)
{
for(int i=1; i<=m; ++i) if(!e[i].col) e[i].val+=x;
for(int i=1; i<=n; ++i) fa[i]=i;
std::sort(e+1,e+1+m);
int sum=0, cnt=0;
for(int i=1,k=0,r1,r2; i<=m; ++i)
{
if((r1=GetFa(e[i].fr))==(r2=GetFa(e[i].to))) continue;
fa[r1]=r2, sum+=e[i].val;
cnt+=e[i].col^1;
if(++k+1==n) break;
}
for(int i=1; i<=m; ++i) if(!e[i].col) e[i].val-=x;
if(cnt<K) return 0;
Ans = sum-K*x;//不能取min!
return 1;
}
int main()
{
n=read(),m=read(),K=read();
for(int i=1; i<=m; ++i) e[i].Init();
Ans=m*101; int l=-101,r=101,mid;
while(l<=r)//l==r时要Check一遍(或者结束时)
if(Check(mid=l+r>>1)) l=mid+1;
else r=mid-1;
// Check(l);
printf("%d",Ans);
return 0;
}
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