机器学习之使用Python完成逻辑回归

一、任务基础

我们将建立一个逻辑回归模型来预测一个学生是否被大学录取。假设你是一个大学系的管理员，你想根据两次考试的结果来决定每个申请人的录取机会。你有以前的申请人的历史数据，你可以用它作为逻辑回归的训练集。对于每一个培训例子，你有两个考试的申请人的分数和录取决定。为了做到这一点，我们将建立一个分类模型，根据考试成绩估计入学概率。

数据集链接为：链接：https://pan.baidu.com/s/1H3T3RfyT3toKbFrqO2z8ug，提取码：jku5

首先导入需要使用到的Python库：

# 数据分析三个必备的python库
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

读取数据然后查看数据：

import os
 
path = "data" + os.sep + "LogiReg_data.txt"
# header=None 表示没有列标签 第三列表示考生是否被录取 Exam 1 Exam 2  表示两个特征
pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
pdData.head()

　　

查看数据维度：

pdData.shape  

(100, 3)

根据是否录取为标准，查看数据集的分布

# pdData 是二维数组
positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1]
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0]
 
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
# 绘制散点图
ax.scatter(positive['Exam 1'],
           positive['Exam 2'],
           s=30,
           c='b',
           marker='o',
           label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'],
           negative['Exam 2'],
           s=30,
           c='r',
           marker='x',
           label='Not Admitted')
ax.legend()  # 添加图例
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')

　　

二、定义函数模块

接下来按照模块化编程：

　θ₀表示第一个考试成绩权重，θ₁表示第二个考试成绩权重，θ₂表示偏置项

　　

首先，定义Sigmoid函数

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

查看Sigmoid函数图像：　

# sigmoid函数图像
nums = np.arange(-10, 10, step=1)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
ax.plot(nums, sigmoid(nums), 'r')

　　

根据上图我们可以看到，这个函数的值域是0到1。当x趋近于负无穷时，y趋近于0，当x趋近于正无穷时，y趋近于1。并且当x等0时，y等于0.5。

返回预测结果值：

　　

def model(X, theta):
    return sigmoid(np.dot(X, theta.T)) # 矩阵乘法

在第一列的前面在加上数据全为1的一列，为了方便上面的矩阵进行运算。　　

# pdData.drop('Ones', 1, inplace=True)  # 删除添加的Ones列
pdData.insert(0, 'Ones', 1)
 
orig_data = pdData.as_matrix()
# print(orig_data.shape)
cols = orig_data.shape[1]
X = orig_data[:, 0:cols - 1]
y = orig_data[:, cols - 1:cols]

# 三个θ参数，用零占位
theta = np.zeros([1, 3])

查看X五个样本数据　　

X[:5]

　　

查看y五个样本数据

y[:5]

　　

查看theta参数

theta

　　

查看X，y，theta的维度　　

X.shape, y.shape, theta.shape

((100, 3), (100, 1), (1, 3))

根据以上，我们可以检查到前面都是没有问题的。使用Notebook开发就是这个好处，可以边做边检查。

根据参数计算损失：

　　

def cost(X, y, theta):
    left = np.multiply(-y, np.log(model(X, theta)))
    right = np.multiply(1 - y, np.log(1 - model(X, theta)))
    # print(left.shape)
    # print("===========================")
    # print(right.shape)
    return np.sum(left - right) / len(X)

计算cost值，检查cost函数是否正确　　

cost(X, y, theta)

0.6931471805599453　　

计算每个参数的梯度方向：

　　

def gradient(X, y, theta):
    grad = np.zeros(theta.shape) # 一共三个参数  所以计算三个参数的梯度
    error = (model(X, theta) - y).ravel() # ravel展平数组
    for j in range(len(theta.ravel())):
        term = np.multiply(error, X[:, j])
        grad[0, j] = np.sum(term) / len(X) # grad[0, 0] grad[0, 1] grad[0, 2]
    return grad

比较3种不同梯度下降方法：

（1）批量梯度下降
（2）随机梯度下降
（3）小批量梯度下降

STOP_ITER = 0 # 按照迭代次数停止
STOP_COST = 1 # 按照损失值停止，两次迭代损失值很小则停止
STOP_GRAD = 2 # 根据梯度停止，梯度变化很小则停止
 
# threshold 阈值
def stopCriterion(type, value, threshold):
    # 设定三种不同的停止策略
    if type == STOP_ITER:
        return value > threshold
    elif type == STOP_COST:
        return abs(value[-1] - value[-2]) < threshold
    elif type == STOP_GRAD:
        return np.linalg.norm(value) < threshold

打乱数据，防止有规律数据　　

import numpy.random
 
# 打乱数据
def shuffleData(data):
    np.random.shuffle(data)
    cols = data.shape[1]
    X = data[:, 0:cols - 1]
    y = data[:, cols - 1:]
    return X, y　

进行参数更新

import time
 
# 梯度下降求解  batchSize取1代表随机梯度下降，取总样本数代表梯度下降，取1~总样本数之间代表miniBatch梯度下降
def descent(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    init_time = time.time() # 初始时间  thresh：阈值，alpha：学习率
    i = 0 # 迭代次数
    k = 0 # batch
    X, y = shuffleData(data)
    grad = np.zeros(theta.shape) # 计算的梯度
    costs = [cost(X, y, theta)] #损失值
 
    while True:
        grad = gradient(X[k:k + batchSize], y[k:k + batchSize], theta)
        k += batchSize # 取batch数量个数据 n可能代表0
        if k >= n:
            k = 0
            X, y = shuffleData(data) # 重新打乱数据
        theta = theta - alpha * grad # 参数更新
        costs.append(cost(X, y, theta)) # 计算新的损失
        i += 1
 
        if stopType == STOP_ITER:
            value = i
        elif stopType == STOP_COST:
            value = costs
        elif stopType == STOP_GRAD:
            value = grad
        if stopCriterion(stopType, value, thresh):
            break
    return theta, i - 1, costs, grad, time.time() - init_time

进行结果的图像展示的展示

def runExpe(data, theta, batchSize, stopType, thresh, alpha):
    theta, iter, costs, grad, dur = descent(data, theta, batchSize, stopType,
                                            thresh, alpha)
    name = "Original" if (data[:, 1 > 2]).sum() > 1 else "Scaled"
    name += " data - learning rate:{} - ".format(alpha)
    if batchSize == n:
        strDescType = "Gradient"
    elif batchSize == 1:
        strDescType = "Stochastic"
    else:
        strDescType = "Mini-batch ({})".format(batchSize)
    name += strDescType + " descent - Stop: "
    if stopType == STOP_ITER:
        strStop = "{} iterations".format(thresh)
    elif stopType == STOP_COST:
        strStop = "costs change < {}".format(thresh)
    else:
        strStop = "gradient norm < {}".format(thresh)
    name += strStop
    print(
        "***{}\nTheta:{} - Iter:{} - Last cost: {:03.2f} - Duration:{:03.2f}s".
        format(name, theta, iter, costs[-1], dur))
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
    ax.plot(np.arange(len(costs)), costs, 'r')
    ax.set_xlabel('Iterations')
    ax.set_ylabel('Cost')
    ax.set_title(name.upper() + ' - Error vs. Iteration')
    return theta

三、实验结果对比

下面对比三种停止策略对结果的影响

根据迭代次数停止，设定阈值5000次，也就是说迭代次数超过5000即停止迭代

n = 100 # 选择所有样本进行梯度下降
runExpe(orig_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.000001)

　　

上面迭代了5000次，看起来似乎目标函数已经成功收敛。上面消耗一秒多的时间，看起来似乎不太行，损失值0.63。下面根据损失值停止，设定阈值1E-6，也就是两次损失值之差不能超过1E-6，差不多需要500000次迭代

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_COST, thresh=0.0000001, alpha=0.001)

　　

根据图片标题我们可以看到差不多迭代50万次才达到我们定义的阈值，而此时收敛的效果更好。损失值只有0.25，消耗的时间达到100多秒。下面根据梯度变化停止，设定阈值0.05，表示梯度相差0.05即停止迭代。

runExpe(orig_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.05, alpha=0.001)

　　

下面这三种对比不同的梯度下降方法　

下面1表示每次1次迭代只拿一个样本，batchSize取1代表随机梯度下降，取总样本数代表梯度下降，取1~总样本数之间代表miniBatch梯度下降

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

　　

有点爆炸。。。很不稳定，下面把迭代次数调高点，学习率调低点

runExpe(orig_data, theta, 1, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.000002)

　　

可以看出这次结果，速度快，但稳定性差，需要很小的学习率

下面进行Mini-batch descent，一次迭代拿16个样本。

runExpe(orig_data, theta, 16, STOP_ITER, thresh=15000, alpha=0.001)

　　

浮动仍然比较大，我们来尝试下对数据进行标准化：将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其方差。最后得到的结果是，对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差值为1　　

from sklearn import preprocessing as pp
 
scaled_data = orig_data.copy()
scaled_data[:, 1:3] = pp.scale(orig_data[:, 1:3])
 
runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_ITER, thresh=5000, alpha=0.001)

　　

它好多了！原始数据，只能5000次迭代损失值达到0.61，而我们得到了0.38在这里！ 所以对数据做预处理是非常重要的　　

runExpe(scaled_data, theta, n, STOP_GRAD, thresh=0.02, alpha=0.001)

　　

更多的迭代次数会使得损失下降的更多！　

theta = runExpe(scaled_data, theta, 1, STOP_GRAD, thresh=0.002/5, alpha=0.001)

　　

随机梯度下降更快，但是我们需要迭代的次数也需要更多，所以还是用batch的比较合适！！！　　

runExpe(scaled_data, theta, 16, STOP_GRAD, thresh=0.002*2, alpha=0.001)

　　

这次时间只花了0.16秒，损失值只有0.22，迭代次数也只有一千多次，得到的结果不错。所以说当我们进行数据梯度下降的时候，首先对数据进行预处理，然后再进行各种的尝试，在这里的话Mini-batch是比较好的，无论是从时间还是结果来看。　

预测函数

def predict(X, theta):
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in model(X, theta)]

计算准确率　　

scaled_X = scaled_data[:, :3]
y = scaled_data[:, 3]
predictions = predict(scaled_X, theta)
correct = [
    1 if ((a == 1 and b == 1) or (a == 0 and b == 0)) else 0
    for (a, b) in zip(predictions, y)
]
accuracy = (sum(map(int, correct)) % len(correct))
print('accuracy = {0}'.format(accuracy))

最终得到准确率89%。

accuracy = 89%

总结：首先拿到数据集看下数据长什么样子，然后再给数据增加了一列全是1的数据，然后再对每个模块函数的编写，最后对比各种策略下的实验结果，最终得出最佳结果。