Codeforces Round 596 题解

万幸的是终于碰上了一场上分好场。

不幸的是一开始差点不会 A。

万幸的是想了个不那么稳的结论过了 pretest。

不幸的是罚时很高，而且慌得一比。

万幸的是然后半个小时内把 B 和 C 码了。

不幸的是然后就只能看着排名一点一点掉了。

万幸的是最后 A 没被叉掉。

不幸的是我居然没敢去叉人。

万幸的是我就是叉了 10 个人排名也不会上涨超过 5。

不幸的是我每掉一名都会少涨两三分。

万幸的是我没去打隔壁的 ZR。

不幸的是我发现这场 ZR 我一题不会，打了就会掉分……

---

2A

没仔细想，但是应该分类讨论一下 \(d_a=d_b\)，\(d_a+1=d_b\) 和 \(d_a=9,d_b=1\) 就行了。

2B1 & 2B2

没仔细想，但是感觉双指针，动态维护不同数的个数（开个 map）就行了。

2C/1A

先枚举要用多少个数拼成 \(n\)。假设当前枚举的是 \(i\)。

那么等价于用恰好 \(i\) 个 \(2\) 的整数次幂拼成 \(n-pi\)。

有解当且仅当 \(bitcnt(n-pi)\le i\) 且 \(n-pi\ge i\)。其中 \(bitcnt\) 是二进制表示中 \(1\) 的个数。

我当时猜的结论是如果有解答案不会超过 \(10^6\)（能稳就稳）。

搬运下官方题解：

当 \(n-30p\ge 30\) 时（即 \(i=30\) 时满足第二个条件），那么因为 \(n-30p<2^{30}\)，\(30\) 是一定合法的。否则对于 \(i\ge 30\)，\(n-pi\ge i\) 都不可能成立。所以答案至多是 \(30\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const int maxn=100010;
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define lson o<<1,l,mid
#define rson o<<1|1,mid+1,r
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline ll read(){
	char ch=getchar();ll x=0,f=0;
	while(ch<'0' || ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar();
	while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
int n,p;
inline int bitcnt(int x){
	int c=0;
	for(;x;x&=x-1) c++;
	return c;
}
int main(){
	n=read();p=read();
	FOR(i,1,1000000){
		if(n-p*i>=i && bitcnt(n-p*i)<=i){
			printf("%d\n",i);return 0;
		}
	}
	puts("-1");
}

2D/1B

把每个数质因数分解。设 \(a_i=p_{i,1}^{c_{i,1}}\times p_{i,2}^{c_{i,2}}\times\dots\times p_{i,l_i}^{c_{i,l_i}}\)。其中 \(p_{i,x}\) 均为质数且单调递增，\(c_{i,x}\) 均为正整数。

两个数 \(i,j\) 合法当且仅当 \(l_i=l_j\) 且 \(p_{i,x}=p_{j,x}\) 且 \(k|(c_{i,x}+c_{j,x})\)。

那么把 \((p_{i,x},c_{i,x}\bmod k)\) 这个二元组塞到一个 vector 后面。并且查找要求的 vector 之前的出现次数。

时间复杂度 \(O(nl\log n)\)。其中 \(l\) 为 \(n\) 以内所有正整数的互不相同质因子个数的最大值。\(n=10^5\) 时，\(l=6\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const int maxn=100010,sq=333;
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define lson o<<1,l,mid
#define rson o<<1|1,mid+1,r
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline ll read(){
	char ch=getchar();ll x=0,f=0;
	while(ch<'0' || ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar();
	while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
int n,k,a[maxn];
vector<PII> d[maxn],tmp;
map<vector<PII>,int> cnt;
ll ans;
int main(){
	n=read();k=read();
	FOR(i,1,n) a[i]=read();
	FOR(i,1,n){
		int x=a[i];
		tmp.clear();
		FOR(j,2,sqrt(x)) if(x%j==0){
			int cnt=0;
			while(x%j==0) x/=j,cnt=(cnt+1)%k;
			if(cnt) d[i].push_back(MP(j,cnt)),tmp.push_back(MP(j,k-cnt));
		}
		if(x>1) d[i].push_back(MP(x,1)),tmp.push_back(MP(x,k-1));
		ans+=cnt[tmp];
		cnt[d[i]]++;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}

2E/1C

比较套路的一题。

令 \(f_{i,j,0}\) 表示目前在 \((i,j)\)，上一步是从左边走过来的方案数。\(f_{i,j,1}\) 表示目前在 \((i,j)\)，上一步是从上面走过来的方案数。

初始状态 \(f_{1,1,0}=f_{1,1,1}=1\)。答案是 \(f_{n,m,0}+f_{n,m,1}\)。（所以要特判 \(n=m=1\)，至于初始状态为什么是这个，看到下面就知道了）

以 \(f_{i,j,0}\) 为例，枚举上一个是从上面走过来的点 \((i,k)\)。注意到 \((i,k)\) 右边的石头肯定之前都没被动过。

那么从 \((i,k)\) 走到 \((i,j)\) 当且仅当 \((i,k)\) 右边的石头个数 \(\le n-j\)。这样子这些石头都可以塞到 \((i,j)\) 右边，否则 \((i,j)\) 肯定被石头挡住。

如果这样，\(f_{i,j,0}+=f_{i,k,1}\)。

发现 \(k\) 一定是 \([l,j-1]\) 这么一段，可以二分 \(l\) 然后用前缀和优化。当然发现随着 \(j\) 递增，\(l\) 不会变小，也可以维护一个指针。我比较懒就用了二分。

时间复杂度 \(O(nm(\log n+\log m))\) 或者 \(O(nm)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const int maxn=2222,mod=1000000007;
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define lson o<<1,l,mid
#define rson o<<1|1,mid+1,r
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline ll read(){
	char ch=getchar();ll x=0,f=0;
	while(ch<'0' || ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar();
	while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
int n,m,f[maxn][maxn][2],rig[maxn][maxn],dn[maxn][maxn],sum1[maxn][maxn],sum2[maxn][maxn];
char mp[maxn];
bool bl[maxn][maxn];
int main(){
	n=read();m=read();
	if(n==1 && m==1) return puts("1"),0;
	FOR(i,1,n){
		scanf("%s",mp+1);
		FOR(j,1,m) if(mp[j]=='R') bl[i][j]=true;
	}
	f[1][1][0]=f[1][1][1]=sum1[1][1]=sum2[1][1]=1;
	FOR(i,1,n) ROF(j,m,1) rig[i][j]=rig[i][j+1]+bl[i][j+1];
	ROF(i,n,1) FOR(j,1,m) dn[i][j]=dn[i+1][j]+bl[i+1][j];
	FOR(i,1,n) FOR(j,1,m){
		if(i==1 && j==1) continue;
		int l=0,r=j;
		while(l<r){
			int mid=(l+r)>>1;
			if(rig[i][mid]<=m-j) r=mid;
			else l=mid+1;
		}
		if(l<j) f[i][j][0]=(f[i][j][0]+(sum1[i][j-1]-(l==0?0:sum1[i][l-1])+mod)%mod)%mod;
		l=0;r=i;
		while(l<r){
			int mid=(l+r)>>1;
			if(dn[mid][j]<=n-i) r=mid;
			else l=mid+1;
		}
		if(l<i) f[i][j][1]=(f[i][j][1]+(sum2[i-1][j]-(l==0?0:sum2[l-1][j])+mod)%mod)%mod;
		sum1[i][j]=(sum1[i][j-1]+f[i][j][1])%mod;
		sum2[i][j]=(sum2[i-1][j]+f[i][j][0])%mod;
//		printf("f[%d][%d]=%d\n",i,j,(f[i][j][0]+f[i][j][1])%mod);
	}
	printf("%d\n",(f[n][m][0]+f[n][m][1])%mod);
}

2F/1D

神仙题，这种构造永远想不到……

考虑逆操作，把一个点的兄弟变成它的父亲。

首先答案肯定不小于 \((n-1)-maxdep\)。因为每次操作树的最大深度最多增加 \(1\)。

然后发现一定可以构造一个方案使得答案就是 \((n-1)-maxdep\)。具体操作方法：找到一条从根开始的最长路径，找到上面随意一个有多个儿子的点 \(v\)，取它在这条路径上的儿子 \(u\) 和任意另一个儿子 \(w\)，把 \(w\) 变成 \(u\) 的父亲。可以发现最长路径一定变长了 \(1\)。

具体实现，每次取满足条件的最深的 \(u\)（注意，不是 \(v\)）。可以发现每次操作之后，新的 \(u\) 一定是原来的 \(u\) 或者它的祖先。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。可以做到 \(O(n)\)，但是好像很难写。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100010,mod=998244353;
#define lson o<<1,l,mid
#define rson o<<1|1,mid+1,r
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline int read(){
	int x=0,f=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar();
	while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
int n,fa[maxn],dep[maxn],last=1,chg,ans[maxn],al,seq[maxn],sl;
set<int> s[maxn];
int main(){
	n=read();
	FOR(i,2,n){
		dep[i]=dep[fa[i]=read()+1]+1;
		s[fa[i]].insert(i);
		if(dep[i]>dep[last]) last=i;
	}
	chg=last;
	while(chg!=1){
		while(chg!=1 && s[fa[chg]].size()==1) chg=fa[chg];
		if(chg!=1){
			int was=fa[chg];
			set<int>::iterator hhh=s[was].find(chg);
			for(set<int>::iterator it=s[was].begin();it!=s[was].end();it++){
				int f=*it;
				if(f==chg) continue;
				s[f].insert(chg);
				fa[chg]=f;
				ans[++al]=chg-1;
				s[was].erase(hhh);
				break;
			}
		}
	}
	for(int i=last;i;i=fa[i]) seq[++sl]=i-1;
	ROF(i,n,1) printf("%d ",seq[i]);
	printf("\n%d\n",al);
	ROF(i,al,1) printf("%d ",ans[i]);
}

1E & 1F

这些都不会，咕了。