CSharpGL(55)我是这样理解PBR的

CSharpGL(55)我是这样理解PBR的

简介

PBR(Physically Based Rendering)，基于物理的渲染，据说是目前最先进的实时渲染方法。它比Blinn-Phong方法的真实感更强，几乎是照片级的效果。

下图就是PBR的一个例子，读者可在CSharpGL中找到。

+BIT祝威+悄悄在此留下版了个权的信息说：

应用题

PBR虽然看起来很复杂，但仍旧是在解一个应用题，只要明确了已知条件和所求问题，就没有什么难以理解的了。

已知条件如下：

对于不透明的三维模型（Cube、Sphere、Teapot等等任何三维模型）上的任意一点，我们知道它的位置vec3 p、法线向量vec3 N和纹理坐标vec2 texCoord。当观察者（你，我，摄像机等等）从某个位置观察三维模型上的这个点p时，从点p到观察者的向量记作vec3 v或vec3 wo。照射到点p的每一束光线vec3 Li，根据某种规则，都会被点p反射到很多方向上去。观察者看到的点p的颜色，就是所有恰好反射到v或wo方向上的光线的颜色。

（注意，为论述方便，在本文中，Li是从点p到入射光源的向量；v和wo是从点p到观察者方向的向量；所有向量的长度都是1。）

+BIT祝威+悄悄在此留下版了个权的信息说：

所求问题：

观察者看到的颜色是什么？（用Lo(p, wo)表示）

解答：这个问题目前是不可能100%完美解决的，所以只给出各种近似的计算模型，凑合着用。

Blinn-Phong

Blinn-Phong模型

Blinn-Phong模型就是其中一种近似方案。

（注意，这里“Blinn-Phong模型”中的“模型”与“三维模型”中的“模型”是两个不同的概念。“Blinn-Phong模型”中的“模型”是对光照现象的某种计算方法。“三维模型”中的“模型”指的是三维空间中的物体的形状。）

Blinn-Phong将物体反射到每一个方向上的光，都分为漫反射diffuse和镜面反射specular这2个部分。它处理的光源，一般是平行光、点光源、聚光灯这种，从某一个点发射光的光源。

为什么在PBR的文章里要介绍Blinn-Phong？因为PBR可以被（我）认为是Blinn-Phong的进化版本。

在Blinn-Phong中，漫反射强度由N、Li共同决定：

float diffuse = dot(N, Li);

镜面反射强度由N、Li、v共同决定：

float specular = dot(N, normalize(Li + v));

（注意，这里的式子没有考虑diffuse和specular小于0的情况，这是为了突出重点。）

这2种反射光加起来，配合物体的材质和光源的颜色，就得到了物体在点p处被观察者看到的颜色：

vec3 fragColor = diffuse * material.diffuse * light.diffuse + specular * material.specular * light.specular;

当然，最后还要加上个环境光（用常量表示）：

vec3 fragColor += ambientColor;

有的Blinn-Phong实现可能与此稍有不同：有的将ambient和diffuse加在一起，有的用纹理(Texture)表示物体的材质，等等。但是思路都是一样的，不要纠结这里。

+BIT祝威+悄悄在此留下版了个权的信息说：

Blinn-Phong的缺点

Blinn-Phong是个很不错的模型，但是它有一个比较明显的缺点：反射光的总量可能大于入射光的总量。也就是说，有时候物体反射的光的总强度居然比入射光还要大。这是不符合物理实际的。

例如，当Li、v都等于N（即入射光和观察者都与法线方向重合）时，diffuse=1，specular=1，两者相加=2>1。我们知道，Blinn-Phong将物体反射出来的每一个方向上的光，都分为漫反射diffuse和镜面反射specular这2个部分。即使物体能够100%反射所有的入射光，(diffuse+specular)最多也就是1而已，不可能超过1。

也就是说，Blinn-Phong虽然能保证diffuse和specular各自不超过1，但是不能保证(diffuse+specular)也不超过1。

PBR解决了这个问题。

PBR

PBR不仅保证了 (diffuse+specular)<= ，还有别的优点：

它能把周围环境当作一个整体的光源，这扩大了光源的范围。

它以真实的物理量为参数，因而对美工更友好。

它表现出照片级的真实感，且物体看起来就像本来就属于场景中一样。

PBR模型

PBR也将物体反射到每个方向上的光，都分为漫反射diffuse和镜面反射specular这2个部分。

同时，它对这2种反射光的形成机制给出了自己的解释：

如图所示，一些入射光Li打在点p上。仔细想想，点p实际上不是数学意义上的点，而是由很多微小的平面（长度大于光的波长，小于像素，简称微平面）组成的一小块“褶子”（褶皱程度就是粗糙度roughness）。入射光Li打在褶子上，一部分会被褶子直接反射，另一部分会被吸收进褶子内部。直接反射的，就是specular部分；吸收后，在褶子内部经过若干次碰撞（组成褶子的原子、分子会不断地反射或吸收剩下的光），有一些光会再次被反射出来，这就是diffuse部分。

PBR模型的关键，就在于光的波长、微平面的大小、像素的大小这三者的大小关系。由于光的波长远远小于微平面的尺寸，所以就不用考虑光的衍射等现象。由于微平面的尺寸远远小于一个像素，所以可以将一个个像素视为一个个“褶子”。这样一来，虽然入射光的diffuse部分，其出射位置与入射位置不完全相同，但仍旧在同一个像素范围内，所以可以视作位置相同。

（有人会说，会不会有的光在褶子内部被反射的很远，最终超出了一个像素的范围呢？答案是，会。那么，这种情况如何处理呢？PBR的答案是，忽略不计。）

“褶子”只是一个称呼，事实上完美光滑的“褶子”，即微平面的排列完全平整，一点都不褶（光学平滑）是存在的，你可以在高端望远镜上找到。当然了，这是微平面级别的完美光滑，不是原子级别的。原子级别的完美光滑，据我所知还做不到。

+BIT祝威+悄悄在此留下版了个权的信息说：

PBR认为 (diffuse+specular)== 始终成立。那么，先算出其中一个，自然就得知另一个了（1-specular）。

Specular部分

菲涅耳方程F

当你站在清澈的海边、河边、湖边，低头向下看时，能够看到水面下的沙石泥土，但平视远处的水面时，就只能看到强烈的反光，很难看到水面下的景象。这种现象被称为菲涅耳(Fresnel)效应。更多图文介绍可以参考（http://blog.sina.com.cn/s/blog_798bec050100rigq.html）。

这种现象说明，入射光被拆分后，specular所占的比例，与入射光Li和观察者v的方向有关。当然，它还与物质的材质有关。菲涅耳方程(Fresnel Equation)给出了一个计算specular的公式。不过那玩意计算起来比较费时，业界一般用它的一个近似版本：

 vec3 fresnelSchlick(float cosTheta, vec3 F0)
 {
     return F0 + (1.0 - F0) * pow(1.0 - cosTheta, 5.0);
 }

当然，其他版本的F函数也是存在的。

其中的cosTheta =  max(, dot(v, normalize(v + Li))) 。可见“它与入射光Li和观察者v的方向有关”，此言不虚。

其中的F0就是物质的材质属性。每种材质都一个对应的F0常数。

其返回结果为vec3 specular，就是说，黄金、白银、钢铁、巧克力，材质对光的RGB通道的反射能力不同。嗯这很科学。

有了specular，当然就有了 vec3 diffuse = vec3(, , ) - specular 。我们稍后再讨论diffuse。

几何函数G

菲涅耳公式给出的，是在入射光Li和观察者v条件下，specular所占的比例。但是，褶子是粗糙的，会遮挡住specular的一部分。

+BIT祝威+悄悄在此留下版了个权的信息说：

因此，需要计算出没有被遮挡的比例，这就是几何函数(Geometry Function)：

（K_direct是指平行光、点光源、聚光灯这样的光源应采用的公式；K_IBL是将整个图片作为光源时应采用的公式。α表示表面粗糙度）

 float GeometrySchlickGGX(float NdotV, float roughness)
 {
     float r = (roughness + 1.0);
     float k = (r*r) / 8.0;
 
     float nom   = NdotV;
     float denom = NdotV * (1.0 - k) + k;
 
     return nom / denom;
 }
 // ----------------------------------------------------------------------------
 float GeometrySmith(vec3 N, vec3 V, vec3 L, float roughness)
 {
     float NdotV = max(dot(N, V), 0.0);
     float NdotL = max(dot(N, L), 0.0);
     float ggx2 = GeometrySchlickGGX(NdotV, roughness);
     float ggx1 = GeometrySchlickGGX(NdotL, roughness);
 
     return ggx1 * ggx2;
 }

当然，其他版本的G函数也是存在的。

+BIT祝威+悄悄在此留下版了个权的信息说：

从参数可知，遮蔽比例与入射光方向Li、法线N、观察者方向v和粗糙度roughness都是有关的。

法线分布函数D

那么，那些没有被遮蔽的specular部分，就全部进入观察者的眼中了吗？并没有。在这些顺利逃出来的specular中，只有那些法线方向与(V+L)相同的微平面反射的光，才能进入观察者眼中。

法线分布函数(Normal Distribution Function)就给出了这个比例：

（α表示表面粗糙度）

 float DistributionGGX(vec3 N, vec3 H, float roughness)
 {
     float a = roughness*roughness;
     float a2 = a*a;
     float NdotH = max(dot(N, H), 0.0);
     float NdotH2 = NdotH*NdotH;
 
     float nom   = a2;
     float denom = (NdotH2 * (a2 - 1.0) + 1.0);
     denom = PI * denom * denom;
 
     return nom / denom;
 }

当然，其他版本的D函数也是存在的。

经过FGD的层层筛选，specular部分就很接近物理真实了。

漫反射常量

diffuse部分相对简单些，用一个常数c表示材质本身的颜色，与diffuse相乘即可。当然，这也是一种近似，其他的近似函数也是存在的。

反射率方程

将上面的各种函数综合起来，再配合一些数学系数，总的PBR公式（反射率方程）就是这样：

总结一下就是：

反射率方程左侧的意思是：观察者在wo方向上观察点p，他所看到的光的颜色Lo是多少？

反射率方程右侧：Kd是diffuse所占的比例，Ks是specular所占的比例（注意Kd+Ks=1）；c是材质的颜色，可以是单一的颜色vec3(r, g, b)，也可以是用一个材质贴图描述texture(texMaterial, texCoord)；π是数学常数；n是点p的法线向量；wi是某个入射光线的方向；DFG是上文所述的法线分布函数、菲涅耳函数和几何函数；Li(p, wi)是在wi方向上照射到点p的入射光的颜色；最左边那个长长的S和Ω符号，加上最右边的dwi符号，是积分的意思，Ω符号表示在法线n方向上的半球范围内积分。

右侧的意思是：将所有入射光Li与其约束比例相乘，再加起来，就是我们应用题的答案。

本质上这仍旧是将diffuse和specular分别计算后再相加而已，只不过PBR对specular和diffuse的量都做了限制，从而保证其和不超过1。

其中的fr部分就是常说的BRDF函数。可见它包含了各种玩意，对物体反射光的量进行约束。

这个公式是如何推导出来的？我不知道，暂时不是解决这个问题的时候。作为工程师，我先理解它，实现它，是第一要务。之后再从理论上推导它。

反射率方程是不能直接用shader来写的，因为达不到实时的性能。所以我们一步步做简化。

首先，右侧可以从加法的位置上拆分为diffuse部分和specular部分：

这样，就可以分别去研究如何实现这2个部分，最后简单加起来就行了。

实现diffuse部分

首先，diffuse部分可以将一些常数提取出来：

+BIT祝威+悄悄在此留下版了个权的信息说：

现在，积分内部的含义是，在半球范围内，将所有方向上的入射光向量分别与法线相乘，再加起来。这个积分在shader中当然要用离散的方式计算。半球嘛，立体的，所以分别在水平方向和竖直方向上进行累加比较方便。

此时，我们就可以把上述方程稍微变形下：

然后变为对应的离散的形式：

从原来的积分形式变为离散形式，使用了蒙特卡罗积分原理。感兴趣的同学可以自行搜索研究一下。本文中，只要知道可以这么转换就行了。

在shader中表示这个离散公式的代码如下：

 #version  core
 out vec4 FragColor;
 in vec3 WorldPos;
 
 uniform samplerCube environmentMap;
 
 const float PI = 3.14159265359;
 
 void main()
 {
     vec3 N = normalize(WorldPos);
 
     vec3 irradiance = vec3(0.0);   
 
     // tangent space calculation from origin point
     vec3 up    = vec3(0.0, 1.0, 0.0);
     vec3 right = cross(up, N);
     up         = cross(N, right);
 
     float sampleDelta = 0.025;
     float nrSamples = 0.0f;
     for(float phi = 0.0; phi < 2.0 * PI; phi += sampleDelta)
     {
         for(float theta = 0.0; theta < 0.5 * PI; theta += sampleDelta)
         {
             // spherical to cartesian (in tangent space)
             vec3 tangentSample = vec3(sin(theta) * cos(phi),  sin(theta) * sin(phi), cos(theta));
             // tangent space to world
             vec3 sampleVec = tangentSample.x * right + tangentSample.y * up + tangentSample.z * N; 
 
             irradiance += texture(environmentMap, sampleVec).rgb * cos(theta) * sin(theta);
             nrSamples++;
         }
     }
     irradiance = PI * irradiance * (1.0 / float(nrSamples));
 
     FragColor = vec4(irradiance, 1.0);
 }

代码中的双重for循环，就是在离散地计算积分值。最后得到的irradiance，再乘以Kd*c，就是diffuse部分的颜色值了。这个值加上接下来马上要讲解的specular部分的颜色值，就是应用题的答案。

+BIT祝威+悄悄在此留下版了个权的信息说：

所有Fragment Shader的计算结果都会保存到一个立方体贴图中。这个贴图叫做irradianceMap。这个计算过程叫做“卷积”。

注意，计算diffuse部分的输入数据中，用到了一个立方体贴图samplerCube environmentMap，它其实就是物体所处于的环境，也叫天空盒。这里实际上就是将整个天空盒当作一个大光源来处理了。下图展示了将输入的立方体贴图（左侧）卷积后得到的irradianceMap（右侧）：

另外，这里将点p选在原点(0, 0, 0)上，稍后计算specular部分时也会这样设置。读者会问，那就只能描述在原点处的光照喽？也不尽然。只要在场景中的其他关键位置上也分别执行一遍PBR公式，就可以在整个场景中安排好这种“探针”。计算光照时，将距离物体最近的那几个探针的颜色加权平均一下，就可以得到需要的颜色了。本文不讨论“探针”的问题。

实现specular部分

现在，提取出specular部分：

这个积分里有wi和wo两个变量，如果要离散地计算，就得对wi和wo的所有组合都算一遍。这是达不到实时要求的。Epic游戏公司给了一个近似公式，可以解决这个问题：

左边的积分和上文的diffuse部分很相似，不同之处是，要对不同的粗糙度分别计算结果，并依次保存到一个立方体贴图的不同mipmap层上（越高的粗糙度保存在越高（分辨率小）的mipmap层上）。这个过程也是卷积，得到的贴图是个多mipmap层的立方体贴图，叫做prefilterMap。下图展示了一个被卷积好了的prefilterMap：

右边的积分，以n与wi的乘积为参数1，以粗糙度为参数2，进行卷积，得到一个普通的二维纹理，叫做brdfLUT。下图就是：

+BIT祝威+悄悄在此留下版了个权的信息说：

分别从卷积贴图里采样，再算到公式里就得到specular部分的颜色了。

贴图总结

首先，我们需要从一个*.hdr文件加载二维纹理texHDR。

然后，将texHDR转换为天空盒纹理sampleCube environmentMap。

然后，用environmentMap分别生成irradianceMap和多mipmap层的prefilterMap。

最后，brdfLUT是独立生成的，与别的贴图无关。

只需加载其他的*.hdr文件，就可以将物体置于其他天空盒下。PBR将天空盒视作光源，照射物体。这就是PBR能让物体保持融入各个场景中原因。

下图是我在CSharpGL中使用的newport_loft.hdr加载后的样子：

这样的样式，在头顶和脚底方向上的数据损失会多一点。不过，一般用户关注的都是平视方向，所以没问题。

总结

PBR是对Blinn-Phong的一种极大的改进。它用几个贴图帮助求解积分，所以显得难以理解，难以实现。其实也就那么回事。

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