P4728 [HNOI2009]双递增序列

题意

这个DP状态有点神。

首先考虑一个最暴力的状态：\(f_{i,j,k,u}\)表示第一个选了\(i\)个，第二个选了\(j\)个，第一个结尾为\(k\)，第二个结尾为\(u\)是否可行。

现在考虑消减状态：

1.首先知道了处理到第几个，那么只要知道一个长度就能推出另一个。 因此状态可以改为\(f_{i,j,k,u}\)表示处理到了第\(i\)个，第一个序列选了\(j\)个，第一个序列结尾为\(k\),第二个序列结尾为\(u\)是否可行。（这并没有减少维数，只是转化下，方便处理。）

2.既然所有的数都要选，假设当前处理到了第\(i\)个，那么第\(i-1\)个必定在结尾，因此我们可以消去一维：

\(f_{i,j,k}\)表示处理到第\(i\)个，结尾是\(a_i\)的那个序列长度为\(j\)，另一个结尾为\(k\)是否可行。

3.贪心地想，一个序列结尾越小越容易接数，因此可以将一维放到DP的值中：

\(f_{i,j}\)表示处理到第\(i\)个，结尾是\(a_{i-1}\)的那个序列长度为\(j\)，另一个结尾最小是多少。

现在我们已经将DP减到二维，于是就可以转移了:

\(a_i>a_{i-1}\)：此时\(a_i\)可以拼接在\(a_{i-1}\)后面：

\(f_{i,j}=\min(f_{i,j}f_{i-1,j-1})\)。

\(a_i>f_{i-1,i-j}\)：此时我们可以将\(a_i\)接到另一个序列后面，于是我们交换两个序列，因为另一个序列后面接了\(a_i\)，我们要符合定义，于是可得：

\(f_{i,j}=\min(f_{i,j},a_{i-1})\)。

最后判断\(f_{n,n/2}\)是否为\(inf\)。

数据范围不知道，到某dark上看了看，\(n\leqslant2000\)。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2010;
int T,n;
int a[maxn];
int f[maxn][maxn];
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
		memset(f,0x3f,sizeof(f));
		f[0][0]=-1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=min(n/2,i);j++)
			{
				if(a[i]>a[i-1])f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]);
				if(a[i]>f[i-1][i-j])f[i][j]=min(f[i][j],a[i-1]);
			}
		puts(f[n][n/2]<0x3f3f3f3f?"Yes!":"No!");
	}
	return 0;
}