区间DP训练

一、石子合并

• 问题描述

  • 将 n (\(1 \le n \le 200\))堆石子绕圆形操场摆放，现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。请编一程序，由文件读入读入堆数 n 及每堆的石子数。① 选择一种合并石子的方案，使得做 n -1 次合并，得分的总和最小 。② 选择一种合并石子的方案，使得做 n -1 次合并，得分的总和最大。

• 输入格式

  • 输入第一行为一个整数 n ，表示有 n 堆石子，第二行为 n 个整数，分别表示每堆石子的数量。

• 输出格式

  • 输出共 2 行，第一行为合并得分总和最小值，第二行为合并得分总和最大值。

• 样例输入

  4
  4 5 9 4
  

• 样例输出

  43
  54
  

• 代码

  #include <cstdio>
  #include <iostream>
  
  using namespace std;
  
  const int maxn = 205,MAX = 0x7fffffff/2;
  int f1[maxn][maxn],f2[maxn][maxn],s[maxn][maxn] = {0};
  int a[maxn],sum[maxn] = {0},n,i,ans1,ans2;
  
  void init();
  void dp();
  
  int main()
  {
      init();
      dp();
      printf("%d\n%d\n",ans1,ans2);
      return 0;
  }
  
  void init()
  {
      scanf("%d",&n);
      for(i = 1; i <= n; i++)
      {
          scanf("%d",&a[i]);
          a[i+n] = a[i];
      }
      for(i = 1; i <= n*2; i++)
      {
          sum[i] = sum[i-1] + a[i];
          f2[i][i] = 0;
          f1[i][i] = 0;
      }
  }
  
  void dp()
  {
      int j,k,L;
      for(L = 2; L <= n; L++)
          for(i = 1; i <= 2*n-L+1; i++)
          {
              j = i+L-1;
              f1[i][j] = 0xfffffff/2;
              f2[i][j] = 0;
              for(k = i;k < j;k++)
              {
                  f1[i][j] = min(f1[i][j],f1[i][k] + f1[k+1][j]);
                  f2[i][j] = max(f2[i][j],f2[i][k] + f2[k+1][j]);
              }
              f1[i][j] += sum[j] - sum[i-1];
              f2[i][j] += sum[j] - sum[i-1];
          }
          ans1 = 0x7fffffff/2,ans2 = 0;
          for(i = 1;i <= n;i++)
              ans1 = min(ans1,f1[i][i+n-1]);
          for(i = 1;i <= n;i++)
              ans2 = max(ans2,f2[i][i+n-1]);
  }
  
  

二、能量项链

• 问题描述

  • 在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩戴着一串能量项链。在项链上有 N 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记和尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一刻珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘(吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官)的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 m，尾标记为 r，后一颗能量珠的头标记为 r，尾标记为 n，则聚合后释放的能量为 \(m * r * n\)(Mars 单位)，新产生的珠子头标记为 m，尾标记为 n。需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链聚合后释放的总能量最大。
  • 例如，设 N = 4，4 颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3)，(3,5)，(5,10)，(10,2)。我们用记号 \(\oplus\) 表示两颗珠子的聚合操作，\((j \oplus k)\) 表示第 j，k 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4，1 两颗珠子聚合后释放的能量为：\((4\oplus1) = 10×2×3 = 60\)。这一串项链可以得到最优价值的一个聚合顺序所释放的总能量为：\(((4\oplus1)\oplus2)\oplus3 = 10×2×3+10×3×5+10×5×10 = 710\)。

• 输入文件

  • 输入文件的第一行是一个正整数 N(\(4\le N \le 100\))，表示项链上珠子的个数。第二行是 N 个用空格隔开的正整数，所有的的数均不超过 1000 。第 i 个数为第 i 颗珠子的头标记(\(1 \le i \le N\))，当 \(i<N\) 时，第 i 颗珠子的尾标记应该等于第 i + 1 颗珠子的头标记。第 N 颗珠子的尾标记应该等于第 1 颗珠子的头标记。
  • 至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放在桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序

• 输出格式

  • 输出文件只有一行，是一个正整数 E(\(R \le 2.1×10^9\))，为一个最优聚合顺序所释放的总能量

• 样例输入

  4
  2 3 5 10
  

• 样例输出

  710
  

• 代码

  #include <cstdio>
  #include <iostream>
  
  using namespace std;
  
  int head[205],tail[205],f[205][205] = {0};
  
  int main()
  {
      int ans = 0,n,i,t,j,k;
      scanf("%d",&n);
      for(i = 1; i <= n; i++)
      {
          scanf("%d",&head[i]);
          head[i+n] = head[i];
      }
      for(i = 1; i <= 2*n-1; i++)
          tail[i] = head[i+1];       //环变成链
      tail[2*n] = head[1];           //求尾标记
      for(i = 1; i <= 2*n-1; i++)   //初始化
          f[i][i] = 0;
      for(t = 1; t <= n-1; t++)   //阶段，合并次数
          for(i = 1; i <= 2*n-t; i++)    //状态，起始位置
          {
              j = i+t;                    //计算结束位置
              for(k = i; k <= j-1; k++)     //决策
                  f[i][j] = max(f[i][j],f[i][k] + f[k+1][j] + head[i]*tail[k]*tail[j]);
          }
      for(i = 1; i <= n; i++)
          ans = max(ans,f[i][i+n-1]);                        //求出最值
      printf("%d",ans);
      return 0;
  }
  

三、凸多边形的划分

• 问题描述

  • 给定一个具有 N (\(N\le 50\)) 个顶点(从 1 到 N 编号)的凸多边形，每个顶点的权均是一个正整数。问：如何把这个凸多边形划分成 N - 2 个互不相交的三角形，使得这些三角形顶点的权的乘积之和最小？

• 输入格式

  • 输入文件的第一行为顶点数 N，第二行为 N 个顶点(从 1 到 N )的权值

• 输出格式

  • 只有一行，为这些三角形顶点的权的乘积之和的最小值

• 输入样例

  5
  122 123 245 231 121
  

• 输出样例

  12214884
  

• 代码

  #include <cstdio>
  #include <iostream>
  #include <cstring>
  
  using namespace std;
  
  typedef long long int ll;
  ll F[110][110][110],a[110];
  ll s1[110],s2[110],s3[110];
  int n;
  
  void Mark(ll c[])
  {
      for(int i = 1; i <= c[0]; i++)
      {
          c[i+1] += c[i]/10000;
          c[i] %= 10000;
      }
      while(c[c[0]+1])
      {
          c[0]++;
          c[c[0]+1] += c[c[0]]/10000;
          c[c[0]] %= 10000;
      }
  }
  
  void Mul(ll a1,ll a2,ll a3,ll c[])
  {
      c[0] = c[1] = 1;
      for(int i = 1; i <= c[0]; i++)
          c[i] *= a1;
      Mark(c);
      for(int i = 1; i <= c[0]; i++)
          c[i] *= a2;
      Mark(c);
      for(int i = 1; i <= c[0]; i++)
          c[i] *= a3;
      Mark(c);
  }
  
  void Add(ll a[],ll b[],ll c[])
  {
      if(a[0] > b[0])
          c[0] = a[0];
      else
          c[0] = b[0];
      for(int i = 1; i <= c[0]; i++)
          c[i] = a[i] + b[i];
      Mark(c);
  }
  
  int Compare(ll a[],ll b[])
  {
      if(a[0] < b[0])
          return 0;
      if(a[0] > b[0])
          return 1;
      for(int i = a[0]; i >= 1; i--)
          if(a[i] < b[i])
              return 0;
          else if(a[i] > b[i])
              return 1;
      return 0;
  }
  
  void Print()
  {
      int i;
      printf("%lld",F[1][n][F[1][n][0]]);
      for(i = F[1][n][0] - 1; i >= 1; i--)
      {
          printf("%lld",F[1][n][i]/1000);
          printf("%lld",F[1][n][i]/100%10);
          printf("%lld",F[1][n][i]/10%10);
          printf("%lld",F[1][n][i]%10);
      }
      printf("\n");
  }
  
  int main()
  {
      int i,j,k,t;
      scanf("%d",&n);
      for(i = 1; i <= n; i++)
          cin>>a[i];
      for(i = 1; i <= n; i++)
          for(j = 1; j <= n; j++)
              F[i][j][0] = 0;
      for(t = 2; t <= n-1; t++)
          for(i = 1; i <= n-t; i++)
          {
              j = i+t;
              F[i][j][0] = 60;
              for(k = i+1; k <= j-1; k++)
              {
                  memset(s1,0,sizeof(s1));
                  memset(s2,0,sizeof(s2));
                  memset(s3,0,sizeof(s3));
                  Mul(a[i],a[k],a[j],s1);
                  Add(F[i][k],F[k][j],s2);
                  Add(s1,s2,s3);
                  if(Compare(F[i][j],s3))
                      memcpy(F[i][j],s3,sizeof(s3));
              }
          }
      Print();
      return 0;
  }