贝尔数--Codeforces908E. New Year and Entity Enumeration

给n<=50个长度m<=1000的二进制数，记他们为集合T，求满足下面条件的集合S数：令$M=2^m-1$，1、$a \epsilon S \Rightarrow a \ \ xor \ \ M \epsilon S$；2、$a \epsilon S,b \epsilon S \Rightarrow a \ \ and \ \ b \epsilon M$；3、$T \subseteq S$；4、S中每个数都<=M。答案膜1e9+7。

首先不看这T个数，先想想自由状态下有多少个S。由条件1可知，对m个二进制位，S中一定有一个数使得这一位不为空。那么经过若干的and操作就可以把含这一位（i）的数变小变小再变小，变到最小记f(i)。可以发现$f(x) \neq f(y) \Rightarrow f(x) \ \ and \ \ f(y) =0$。如果不这样，那么$f(x) \ \ and \ \ (f(y)\ \ xor \ \ M)$可以得到一个比f(x)更小的，且在x这一位为1的数，就矛盾。

那么自由状态下就相当于把m个位置划分成若干个集合，每个集合里的x的f(x)共享，比如{2,4}对应f(2)=f(4)=1010，问有多少方案。这就是贝尔数了。

贝尔数性质：转自此

n^2递推的话还有：令$B(0,0)=1,B(i,0)=B(i-1,i-1),B(i,j)=B(i-1,j-1)+B(i,j-1)$，则$B(i,0)$就是第i个贝尔数。

OK现在加入T的限制。在T的限制下，令R(i)表示数位i在n个数的状态，就是R(i)的第j位表示第j个数的第i位是1还是0。R(i)不同的两位，在分配集合时绝对绝对不能分在一个集合，因为如果$R(x) \neq R(y),f(x) = f(y)$，那么f(x)与那个导致两个R不相同的数and一下，就可以得到一个更小的f(x)，矛盾。所以根据R(i)的不同把位分成若干组，每组算一个贝尔数即可。

 //#include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cstdio>
 #include<map>
 //#include<bitset>
 #include<algorithm>
 //#include<cmath>
 using namespace std;

 int n,m;
 #define LL long long
 LL state[],str[][];
 map<LL,int> mp;
 const int mod=1e9+;
 int main()
 {
     scanf("%d%d",&m,&n); LL x;
     for (int i=;i<n;i++)
         for (int j=;j<m;j++)
             scanf("%1lld",&x),state[j]|=(x<<i);
     for (int i=;i<m;i++) mp[state[i]]++;
     str[][]=;
     for (int i=;i<=m;i++)
     {
         str[i][]=str[i-][i-];
         for (int j=;j<=i;j++) str[i][j]=str[i][j-]+str[i-][j-],str[i][j]-=str[i][j]>=mod?mod:;
     }
     int ans=;
     for (map<LL,int>::iterator i=mp.begin();i!=mp.end();i++) ans=1ll*ans*str[(*i).second][]%mod;
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }