开车旅行

2012年NOIP全国联赛提高组

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 空间限制: 128000 KB
 题目等级 : 钻石 Diamond
 
 
题目描述 Description

小A 和小B决定利用假期外出旅行,他们将想去的城市从1到N 编号,且编号较小的城市在编号较大的城市的西边,已知各个城市的海拔高度互不相同,记城市 i的海拔高度为Hi,城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值,即d[i, j] = |Hi − Hj|。

旅行过程中,小A 和小B轮流开车,第一天小A 开车,之后每天轮换一次。他们计划选择一个城市 S 作为起点,一直向东行驶,并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小B的驾驶风格不同,小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地,而小 A 总是沿着前进方向选择第二近的城市作为目的地(注意:本题中如果当前城市到两个城市的距离相同,则认为离海拔低的那个城市更近)。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的城市,或者到达目的地会使行驶的总距离超出X公里,他们就会结束旅行。

在启程之前,小A 想知道两个问题:

1.对于一个给定的 X=X0,从哪一个城市出发,小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小(如果小 B的行驶路程为0,此时的比值可视为无穷大,且两个无穷大视为相等)。如果从多个城市出发,小A 开车行驶的路程总数与小B行驶的路程总数的比值都最小,则输出海拔最高的那个城市。

2.对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si,小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程总数。

输入描述 Input Description

第一行包含一个整数 N,表示城市的数目。

第二行有 N 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,依次表示城市 1 到城市 N 的海拔高度,即H1,H2,……,Hn,且每个Hi都是不同的。

第三行包含一个整数 X0。

第四行为一个整数 M,表示给定M组Si和 Xi。

接下来的M行,每行包含2个整数Si和Xi,表示从城市 Si出发,最多行驶Xi公里。

输出描述 Output Description

输出共M+1 行。

第一行包含一个整数S0,表示对于给定的X0,从编号为S0的城市出发,小A开车行驶的路程总数与小B行驶的路程总数的比值最小。

接下来的 M 行,每行包含 2 个整数,之间用一个空格隔开,依次表示在给定的 Si和Xi下小A行驶的里程总数和小B 行驶的里程总数。

样例输入 Sample Input

【样例1】

4

2 3 1 4

3

4

1 3

2 3

3 3

4 3

【样例2】

10

4 5 6 1 2 3 7 8 9 10

7

10

1 7

2 7

3 7

4 7

5 7

6 7

7 7

8 7

9 7

10 7

样例输出 Sample Output

【样例1】

1

1 1

2 0

0 0

0 0

【样例2】

2

3 2

2 4

2 1

2 4

5 1

5 1

2 1

2 0

0 0

0 0

数据范围及提示 Data Size & Hint

【输入输出样例1说明】

各个城市的海拔高度以及两个城市间的距离如上图所示。

如果从城市1出发, 可以到达的城市为2,3,4,这几个城市与城市 1的距离分别为 1,1,2,但是由于城市3的海拔高度低于城市 2,所以我们认为城市 3离城市 1最近,城市 2离城市1 第二近,所以小 A 会走到城市 2。到达城市 2 后,前面可以到达的城市为 3,4,这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1,所以城市 4离城市 2最近,因此小 B 会走到城市 4。到达城市4后,前面已没有可到达的城市,所以旅行结束。

如果从城市2出发,可以到达的城市为3,4,这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1,由于城市3离城市2第二近,所以小A会走到城市 3。到达城市3后,前面尚未旅行的城市为4,所以城市 4 离城市 3 最近,但是如果要到达城市 4,则总路程为 2+3=5>3,所以小 B 会直接在城市3结束旅行。

如果从城市3出发,可以到达的城市为4,由于没有离城市3 第二近的城市,因此旅行还未开始就结束了。

如果从城市4出发,没有可以到达的城市,因此旅行还未开始就结束了。

【输入输出样例2说明】

当 X=7时,

如果从城市1出发,则路线为 1 -> 2 -> 3 -> 8 -> 9,小A 走的距离为1+2=3,小B走的距离为 1+1=2。(在城市 1 时,距离小 A 最近的城市是 2 和 6,但是城市 2 的海拔更高,视为与城市1第二近的城市,所以小A 最终选择城市 2;走到9后,小A只有城市10 可以走,没有第2选择可以选,所以没法做出选择,结束旅行)

如果从城市2出发,则路线为 2 -> 6 -> 7  ,小A 和小B走的距离分别为 2,4。

如果从城市3出发,则路线为 3 -> 8 -> 9,小A和小B走的距离分别为 2,1。

如果从城市4出发,则路线为 4 -> 6 -> 7,小A和小B走的距离分别为 2,4。

如果从城市5出发,则路线为 5 -> 7 -> 8  ,小A 和小B走的距离分别为 5,1。

如果从城市6出发,则路线为 6 -> 8 -> 9,小A和小B走的距离分别为 5,1。

如果从城市7出发,则路线为 7 -> 9 -> 10,小A 和小B走的距离分别为 2,1。

如果从城市8出发,则路线为 8 -> 10,小A 和小B走的距离分别为2,0。

如果从城市 9 出发,则路线为 9,小 A 和小 B 走的距离分别为 0,0(旅行一开始就结束了)。

如果从城市10出发,则路线为 10,小A 和小B 走的距离分别为0,0。

从城市 2 或者城市 4 出发小 A 行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值都最小,但是城市2的海拔更高,所以输出第一行为2。

【数据范围】

对于30%的数据,有1≤N≤20,1≤M≤20;

对于40%的数据,有1≤N≤100,1≤M≤100;

对于50%的数据,有1≤N≤100,1≤M≤1,000;

对于70%的数据,有1≤N≤1,000,1≤M≤10,000;

对于100%的数据,有1≤N≤100,000, 1≤M≤10,000, -1,000,000,000≤Hi≤1,000,000,000,0≤X0≤1,000,000,000,1≤Si≤N,0≤Xi≤1,000,000,000,数据保证Hi互不相同。

/*
70暴力 n^2处理当前点之后距离该点最近和次近的点
然后模拟
必须要不厌其烦的手造各种情况的数据才能保证正确性!!
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring> #define N 1007
#define inf 0x3f3f3f3f using namespace std;
int n,m,k,ans,cnt,x0,A,temp;
int f[N],tmp[N],h[N],next1[N],next2[N];
int dis[N][N];
bool vis[N][N]; inline int read()
{
int x=,f=;char c=getchar();
while(c>''||c<''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
return x*f;
} int main()
{
n=read();int x,y,z;
for(int i=;i<=n;i++) h[i]=read();
for(int i=;i<=n;i++) for(int j=;j<=n;j++)
dis[i][j]=dis[j][i]=abs(h[i]-h[j]); memset(f,/,sizeof f);int cur;
memset(tmp,/,sizeof tmp);
for(int i=n-;i>=;i--)
{
cur=;
for(int j=i+;j<=n;j++)
{
if(f[i]==dis[i][j] && cur)
{
if(h[cur]>h[j]) cur=j;
}
if(f[i]>dis[i][j]) cur=j,f[i]=dis[i][j];
}
vis[i][cur]=true;next1[i]=cur;cur=;
for(int j=i+;j<=n;j++)
{
if(tmp[i]==dis[i][j] && cur)
{
if(!vis[i][j] && h[cur]>h[j]) cur=j;
}
if(tmp[i]>dis[i][j] && !vis[i][j]) cur=j,tmp[i]=dis[i][j];
}
next2[i]=cur;
}
f[n]=,tmp[n-]=tmp[n]=;next1[n]=n+,next2[n]=n+; x0=read();m=read();double answer=inf,c=0.0;cnt=;int mh=-;
for(int i=;i<=n;i++)
{
x=i;y=x0;
ans=;temp=;cnt=;
while(x<=n)
{
cnt++;
if(cnt%==)
{
if(tmp[x] && x<=n)
{
ans+=tmp[x];
if(y-ans-temp<){ans-=tmp[x];break;}
x=next2[x];continue;
}
if(x==n-) break;
}
else
{
if(f[x] && x<=n)
{
temp+=f[x];
if(y-temp-ans<){temp-=f[x];break;}
x=next1[x];continue;
}
else break;
}
}
x=i;y=x0;
if(temp==) continue;
else c=ans*1.0/temp;
if(answer>c || answer==c && h[i]>mh)
{
mh=h[i];
answer=c,A=i;
}
}
cout<<A<<endl; for(int i=;i<=m;i++)
{
x=read();y=read();
ans=;temp=;cnt=;
while(x<=n)
{
cnt++;
if(cnt%==)
{
if(tmp[x] && x<=n)
{
ans+=tmp[x];
if(y-ans-temp<){ans-=tmp[x];break;}
x=next2[x];continue;
}
if(x==n-) break;
}
else
{
if(f[x] && x<=n)
{
temp+=f[x];
if(y-temp-ans<){temp-=f[x];break;}
x=next1[x];continue;
}
else break;
}
}
cout<<ans<<" "<<temp<<endl;cnt=;
}
return ;
}

70

/*
考虑如何优化n^2预处理
需要查询当前点之后与当前高度差最近的,可以用从后往前插入set实现二分查找
因为距离相同的高度尽量小,所以set先插前驱再插后继。 考虑如何优化n^2+n*m 模拟
把AB各走一次看做一步。
预处理A,B走i这个点2^j步距离以及AB走完当前步到达的位置。
分别记为fa[i][j],fb[i][j],f[i][j] 倍增处理即可。
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<set>
#include<algorithm> #define maxn 100007 using namespace std;
int N,x0,M,S,x1;
long long nexta[maxn],nextb[maxn],f[maxn][];
long long fa[maxn][],fb[maxn][];
struct city{
int pos,high;
bool operator < (const city &x) const{
return high<x.high;
}
}c[maxn];
set<city>s;
struct node{
int pos,dif;
bool operator < (const node &x) const{
if(dif!=x.dif) return dif<x.dif;
return c[pos].high<c[x.pos].high;
}
}t[]; inline void Find(int i)
{
set<city> :: iterator it=s.find(c[i]);
int add=;
if (it!=s.begin())
{
--it;
t[++add]=(node){
it->pos,abs(it->high-c[i].high)
};
if (it!=s.begin())
{
--it;
t[++add]=(node){
it->pos,abs(it->high-c[i].high)
};++it; }++it;
}
if ((++it)!=s.end())
{
t[++add]=(node){
it->pos,abs(it->high-c[i].high)
};
if ((++it)!=s.end()) t[++add]=(node){
it->pos,abs(it->high-c[i].high)
};
}
sort(t+,t+add+);nextb[i]=t[].pos;
if(add==) return;nexta[i]=t[].pos;
} inline void Query(int St,int X,long long &ta,long long &tb)
{
for(int i=;~i;i--)
if(f[St][i] && fa[St][i]+fb[St][i]<=X)
{
ta+=fa[St][i];tb+=fb[St][i];
X-=fa[St][i]+fb[St][i];St=f[St][i];
}
int posa=nexta[St];
if(!posa) return;
int dis=abs(c[posa].high-c[St].high);
if(dis<=X) ta+=dis;
} int main()
{
ios :: sync_with_stdio(false);
cin >> N;
for(int i=;i<=N;i++)
cin>>c[i].high,c[i].pos=i;
for(int i=N;i;i--)
{
s.insert(c[i]);
if(i^N) Find(i);
}
for(int i=;i<=N;i++)
{
int pos1=nexta[i],pos2=nextb[pos1];
fa[i][]=pos1?abs(c[pos1].high-c[i].high):;
fb[i][]=pos2?abs(c[pos2].high-c[pos1].high):;
f[i][]=pos2;
}
for(int j=;j<;j++)
for(int i=;i<=N;i++)
{
f[i][j]=f[f[i][j-]][j-];
fa[i][j]=fa[i][j-]+fa[f[i][j-]][j-];
fb[i][j]=fb[i][j-]+fb[f[i][j-]][j-];
} cin >> x0;
int ans = ;
long long ansa = 1e15, ansb = 0ll;
for(int i=;i<=N;i++)
{
long long ta=0ll,tb=0ll;
Query(i,x0,ta,tb);
if(tb && (!ans || ansa*tb>ansb*ta))
{
ansa=ta;ansb=tb;ans=i;
}
}
cout<<ans<<endl; for(cin>>M;M--;)
{
cin>>S>>x1;
long long ta=0ll,tb=0ll;
Query(S,x1,ta,tb);
cout<<ta<<" "<<tb<<endl;
}
return ;
}

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