[BZOJ3527][ZJOI2014]力 FFT+数学

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3527

首先卷积的形式是$h(i)=\sum_{i=0}^jf(i)g(i-j)$，如果我们可以把式子整理成这个样子再套上FFT就成功了。

$$E_i=\sum_{j<i}\frac{q_j}{(j-i)^2}-\sum_{j>i}\frac{q_j}{(i-j)^2}$$

$$E_i=\sum_{j=0}^{i-1}\frac{q_j}{(j-i)^2}^2-\sum_{j=0}^{n-i-1}\frac{q_{n-j}}{(n-i-j)^2}$$

令$f(i)=q_i$，$g(i)=\frac{1}{i^2}$，$t(i)=q_{n-i}$，则有

$$E_i=\sum_{j=0}^{i-1}f(i)g(i-j)-\sum_{j=0}^{n-i-1}t(j)g(n-i-j)$$

因为$j$无法取到$i$或者$n-i$，所以令$g(0)=0$来消除最后一项的影响。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 const double pi=acos(-1.0);
 struct complex{
     double r,i;
     complex (double _r=,double _i=){
         r=_r,i=_i;
     }
     complex operator + (const complex &_){
         return complex(r+_.r,i+_.i);
     }
     complex operator - (const complex &_){
         return complex(r-_.r,i-_.i);
     }
     complex operator * (const complex &_){
         return complex(r*_.r-i*_.i,r*_.i+_.r*i);
     }
 };
 void reverse(complex y[],int len){
     for(int i=,j=len>>,k;i+<len;i++){
         if(i<j) swap(y[i],y[j]);
         k=len>>;
         while(j>=k){
             j-=k;
             k>>=;
         }
         if(j<k) j+=k;
     }
 }
 void FFT(complex y[],int len,int on){
     reverse(y,len);
     for(int h=;h<=len;h<<=){
         complex wn(cos(-on**pi/h),sin(-on**pi/h));
         for(int j=;j<len;j+=h){
             complex w(,);
             for(int k=j;k<j+(h>>);k++){
                 complex u=y[k],t=w*y[k+(h>>)];
                 y[k]=u+t;
                 y[k+(h>>)]=u-t;
                 w=w*wn;
             }
         }
     }
     if(on==-) for(int i=;i<len;i++) y[i].r/=len;
 }
 double q[],ans[];
 complex a[],b[],c[];
 int main(){
     int n,len=;
     scanf("%d",&n);
     while(len<n) len<<=;len<<=;
     for(int i=;i<n;i++) scanf("%lf",&q[i]);
     for(int i=;i<n;i++) a[i]=complex(q[i],);
     for(int i=;i<n;i++) b[i]=complex(1.0/i/i,);
     for(int i=n;i<len;i++) a[i]=b[i]=complex();
     b[]=complex();
     FFT(a,len,);
     FFT(b,len,);
     for(int i=;i<len;i++) c[i]=a[i]*b[i];
     FFT(c,len,-);
     for(int i=;i<n;i++) ans[i]=c[i].r;
     for(int i=;i<n;i++) a[i]=complex(q[n-i-],);
     for(int i=;i<n;i++) b[i]=complex(1.0/i/i,);
     for(int i=n;i<len;i++) a[i]=b[i]=complex();
     b[]=complex();
     FFT(a,len,);
     FFT(b,len,);
     for(int i=;i<len;i++) c[i]=a[i]*b[i];
     FFT(c,len,-);
     for(int i=;i<n;i++) ans[i]-=c[n-i-].r;
     for(int i=;i<n;i++) printf("%.3lf\n",ans[i]);
     return ;
 }