洛谷P4725 【模板】多项式对数函数（多项式运算）

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前置芝士：微积分（有所了解即可）（可以看看这篇，写得非常详细我看了两章就看不下去了）

以下都是一些简单的教程切莫当真，仅供理解，建议看更严谨的

导数：对于一个函数$f(x)$，它的导数$f'(x)$为一个新的函数。简单理解的话，$f'(x)$表示在原函数图像上该点切线的斜率，记为$\frac{dy}{dx}$或$\frac{d}{dx}f(x)$

积分：对于一个导数$f'(x)$，它所对应的原函数为它的积分，记为$\int f'(x)dx$

对于一个多项式$F(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i$来说（一个多项式实际上可以看做一个函数），它的导数和积分如下
$$F'(x)=\sum_{i=1}^nia_ix^{i-1}$$
$$\int F(x)=\sum_{i=1}^n\frac{a_ix^{i+1}}{i+1}$$

这两个是可以$O(n)$计算的，可以互相转换

然后我们要计算$ln\ F$，首先因为$ln'(x)=\frac{1}{x}$，而这里是一个多项式，根据链式法则（我也不知道什么东西），$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$，然后把$F(x)$带进去，得$$\frac{d}{dx}ln(F(x))=\frac{d}{dF(x)}ln(F(x))\frac{dF(x)}{dx}$$
$$\frac{d}{dx}ln(F(x))=\frac{1}{F}F'$$
$$ln(F(x))\equiv \int F'F^{-1}\pmod{x^n}$$
求导和积分的运算代码挺短的……然后剩下的基本就是多项式板子了

 //minamoto
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
 #define mul(x,y) (1ll*x*y%P)
 #define add(x,y) (x+y>=P?x+y-P:x+y)
 #define dec(x,y) (x-y<0?x-y+P:x-y)
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline int read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;int res;
     while(!isdigit(ch=getc()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 char sr[<<],z[];int K=-,Z;
 inline void Ot(){fwrite(sr,,K+,stdout),K=-;}
 inline void print(int x){
     if(K><<)Ot();if(x<)sr[++K]=,x=-x;
     while(z[++Z]=x%+,x/=);
     while(sr[++K]=z[Z],--Z);sr[++K]=' ';
 }
 const int N=,P=;
 inline int ksm(int a,int b){
     int res=;
     while(b){
         if(b&) res=mul(res,a);
         a=mul(a,a),b>>=;
     }
     return res;
 }
 int n,r[N],A[N],B[N],C[N],D[N],F[N],G[N],O[N];
 void NTT(int *A,int type,int len){
     int limit=,l=;
     while(limit<len) limit<<=,++l;
     for(int i=;i<limit;++i)
     r[i]=(r[i>>]>>)|((i&)<<(l-));
     for(int i=;i<limit;++i)
     if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
     for(int mid=;mid<limit;mid<<=){
         int R=mid<<,Wn=ksm(,(P-)/R);O[]=;
         for(int j=;j<limit;++j) O[j]=mul(O[j-],Wn);
         for(int j=;j<limit;j+=R){
             for(int k=;k<mid;++k){
                 int x=A[j+k],y=mul(O[k],A[j+k+mid]);
                 A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y);
             }
         }
     }
     if(type==-){
         reverse(A+,A+limit);
         for(int i=,inv=ksm(limit,P-);i<limit;++i)
         A[i]=mul(A[i],inv);
     }
 }
 void Inv(int *a,int *b,int len){
     if(len==) return (void)(b[]=ksm(a[],P-));
     Inv(a,b,len>>);int l=len<<;
     for(int i=;i<len;++i) C[i]=a[i],D[i]=b[i];
     NTT(C,,l),NTT(D,,l);
     for(int i=;i<l;++i) C[i]=mul(mul(C[i],D[i]),D[i]);
     NTT(C,-,l);
     for(int i=;i<len;++i) b[i]=dec(add(b[i],b[i]),C[i]);
 }
 void Direv(int *A,int *B,int len){
     //求导
     for(int i=;i<len;++i) B[i-]=mul(A[i],i);B[len-]=;
 }
 void Inter(int *A,int *B,int len){
     //积分
     for(int i=;i<len;++i) B[i]=mul(A[i-],ksm(i,P-)),B[]=;
 }
 void Ln(int *a,int *b,int len){
     Direv(a,A,len),Inv(a,B,len);int l=len<<;
     NTT(A,,l),NTT(B,,l);
     for(int i=;i<l;++i) A[i]=mul(A[i],B[i]);
     NTT(A,-,l),Inter(A,b,len);
 }
 int main(){
 //    freopen("testdata.in","r",stdin);
     n=read();
     for(int i=;i<n;++i) F[i]=read();
     int len;for(len=;len<n;len<<=);
     Ln(F,G,len);
     for(int i=;i<n;++i) print(G[i]);
     Ot();
     return ;
 }