【BZOJ 4332】 4332: JSOI2012 分零食 （FFT+快速幂）

4332: JSOI2012 分零食

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Description

这里是欢乐的进香河，这里是欢乐的幼儿园。 

今天是2月14日，星期二。在这个特殊的日子里，老师带着同学们欢乐地跳着，笑着。校长从幼儿园旁边的小吃店买了大量的零食决定分给同学们。听到这个消息，所有同学都安安静静地排好了队，大家都知道，校长不喜欢调皮的孩子。 

同学们依次排成了一列，其中有A位小朋友，有三个共同的欢乐系数O，S和U。如果有一位小朋友得到了x个糖果，那么她的欢乐程度就是f(x)=O*x2+S*x+U。 

现在校长开始分糖果了，一共有M个糖果。有些小朋友可能得不到糖果，对于那些得不到糖果的小朋友来说，欢乐程度就是1。如果一位小朋友得不到糖果，那么在她身后的小朋友们也都得不到糖果。（即这一列得不到糖果的小朋友一定是最后的连续若干位） 

所有分糖果的方案都是等概率的。现在问题是：期望情况下，所有小朋友的欢乐程度的乘积是多少？呆呆同学很快就有了一个思路，只要知道总的方案个数T和所有方案下欢乐程度乘积的总和S，就可以得到答案Ans=S/T。现在他已经求出来了T的答案，但是S怎么求呢？他就不知道了。你能告诉他么？ 

因为答案很大，你只需要告诉他S对P取模后的结果。 

后记： 

虽然大家都知道，即便知道了T，知道了S对P取模后的结果，也没有办法知道期望情况下，所有小朋友欢乐程度的乘积。但是，当呆呆想到这一点的时候，已经彻底绝望了。 

Input

第一行有2个整数，分别是M和P。 

第二行有一个整数A，第三行有一个整数O。 

第四行有一个整数S，第五行有一个整数U。 

Output

一个整数S，因为答案可能很大，你只需要输出S 对P取模后的结果。 

Sample Input

4 100
4
1
0
0

Sample Output

63

样例说明
函数f(x)=x^2。一共有4份零食，4位同学。如果只有第一个同学得到，欢乐程度为16，若前两位同学得到，欢乐程度的所有可能依次为9，9，16，若有三位同学得到，欢乐程度有4，4，4，最后一种情况，每一个同学都得到了零食，欢乐程度为1。相加后得到S=63。

应上传者要求，此题不公开，如有异议，请提出.

HINT

对于100%的数据，M<=10000，P<=255，A<=108，O<=4，S<=300，U<=100。

Source

【分析】

---

O(n^2)做法：【实测可以过全部

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 int Mod;
 int f[][];
 
 int main()
 {
     int m,n,a,b,c;
     scanf("%d%d%d%d%d%d",&m,&Mod,&n,&a,&b,&c);
     if(n>m) n=m;
     memset(f,,sizeof(f));
     f[][]=;
     int ans=,p=,ss;
     for(int j=;j<=n;j++)
     {
         int nw=,pp=p^;
         memset(f[pp],,sizeof(f[pp]));
         ss=;
         for(int i=;i<=m;i++)
         {
              if(i>=) ss=(ss+f[p][i-])%Mod;
              f[pp][i]=f[pp][i-];
              if(i>=) nw=(nw+ss**a)%Mod;
              if(i>=) nw=(nw+f[p][i-]*(*a+a+b))%Mod;
              f[pp][i]=(f[pp][i]+nw+f[p][i-]*(a+b+c))%Mod;
         }p^=;
         ans=(ans+f[p][m])%Mod;
     }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

具体解释见这里

---

O（n^2 logn）

【实测还不如暴力，不知道是不是我常数大。

【就是后面两个for改成卷积形式

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 const double pi=acos(-);
 #define Maxn 10010*4
 int Mod;
 int f[Maxn],g[Maxn];
 
 struct P
 {
     double x,y;
     P() {x=y=;}
     P(double x,double y):x(x),y(y){}
     friend P operator + (P x,P y) {return P(x.x+y.x,x.y+y.y);}
     friend P operator - (P x,P y) {return P(x.x-y.x,x.y-y.y);}
     friend P operator * (P x,P y) {return P(x.x*y.x-x.y*y.y,x.x*y.y+x.y*y.x);}
 }a[Maxn],b[Maxn];
 
 int R[Maxn],nn,m;
 void dft(P *a,int t)
 {
     for(int i=;i<=nn;i++) if(i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
     for(int i=;i<nn;i<<=)
     {
         P wn(cos(pi/i),t*sin(pi/i));
         for(int j=;j<nn;j+=(i<<))
         {
             P w(,);
             for(int k=;k<i;k++,w=w*wn)
             {
                 P x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
                 a[j+k]=x+y;a[j+k+i]=x-y;
             }
         }
     }
     if(t==-)
     {
         for(int i=;i<=nn;i++) a[i].x/=nn;
     }
 }
 
 void fft(int *X,int *Y)
 {
     for(int i=;i<=nn;i++)
     {
         a[i].x=X[i];a[i].y=;
         b[i].x=Y[i];b[i].y=;
     }
     dft(a,);dft(b,);
     for(int i=;i<=nn;i++) a[i]=a[i]*b[i];
     dft(a,-);
     for(int i=;i<=m;i++) X[i]=(int)(a[i].x+0.5)%Mod;
 }
 
 int main()
 {
     int n,a,b,c;
     scanf("%d%d%d%d%d%d",&m,&Mod,&n,&a,&b,&c);
     if(n>m) n=m;
     f[]=g[]=;
     for(int i=;i<=m;i++) f[i]=g[i]=(a*i*i+b*i+c)%Mod;
     int ans=; ans+=f[m];
 
     nn=;int ll=;
     while(nn<=*m) nn<<=,ll++;
     for(int i=;i<=nn;i++) R[i]=(R[i>>]>>)|((i&)<<(ll-));
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
        fft(f,g);
        ans=(ans+f[m])%Mod;
     }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

---

O（nlogn^2）做法：

把上面的第一个循环改成快速幂

从7点搞到了现在。。

　　理解奥爷爷的代码好久啊。。。但是打的真心短。。。

　　下面那个qpow是一个矩阵乘法的快速幂！！【我傻啊看了很久才看出来。。

　　所以求$G^1+G^2+...G^n$

呵呵【我看这个看了好久

【呵呵

其实我觉得这个卷积有点迷

但是不管了，明天再说

关于$a^1+a^2+a^3...+a^n$，当然如果你只是要求数的话，可以直接套等比数列求和公式。但如果不是数呢？或者mod下没有逆元怎么求分母呢？

可以用 矩阵乘法快速幂 ，就类似上面的那个方法的。

打成数值的形式是这样：

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 
 int main()
 {
     int x,y;
     scanf("%d%d",&x,&y);
     int ans=,xx=x;
     while(y)
     {
         if(y&)
         {
             ans=ans*x+xx*;
         }
         xx=xx*x+xx*;
         x=x*x;
         y>>=;
     }
     printf("%d\n",ans);
 }

上面的求卷积的幂的和，就是这样子做的。

然后是O（n logn^2）的代码

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define Maxn 10010*4
 const double pi=acos(-);
 int Mod;
 
 struct P
 {
     double x,y;
     P() {x=y=;}
     P(double x,double y):x(x),y(y){}
     friend P operator + (P x,P y) {return P(x.x+y.x,x.y+y.y);}
     friend P operator - (P x,P y) {return P(x.x-y.x,x.y-y.y);}
     friend P operator * (P x,P y) {return P(x.x*y.x-x.y*y.y,x.x*y.y+x.y*y.x);}
 }a[Maxn],b[Maxn];
 
 int R[Maxn],nn,m;
 void dft(P *a,int f)
 {
     for(int i=;i<nn;i++) if(i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
     for(int i=;i<nn;i<<=)
     {
         P wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
         for(int j=;j<nn;j+=i<<)
         {
             P w(,);
             for(int k=;k<i;k++,w=w*wn)
             {
                 P x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
                 a[j+k]=x+y;a[j+k+i]=x-y;
             }
         }
     }
     if(f==-)
     {
         for(int i=;i<=nn;i++) a[i].x/=nn,a[i].y/=nn;
     }
 }
 
 int A[Maxn],B[Maxn],C[Maxn],nw[Maxn];
 int aa,bb,cc;
 void fft(int *A,int *B)
 {
     for(int i=;i<nn;i++)
     {
       a[i].x=A[i];a[i].y=;
       b[i].x=B[i];b[i].y=;
     }
     dft(a,);dft(b,);
     for(int i=;i<=nn;i++) a[i]=a[i]*b[i];
     dft(a,-);
     for(int i=;i<=m;i++) A[i]=((int)(a[i].x+0.5)%Mod);
 }
 
 void add(int *A,int *B)
 {
     for(int i=;i<=m;i++) A[i]=(A[i]+B[i])%Mod;
 }
 
 void qpow(int k)
 {
     for(int i=;i<=m;i++) A[i]=;
     for(int i=;i<=m;i++) C[i]=B[i]=(aa*i*i+bb*i+cc)%Mod;
     while(k)
     {
         if(k&)
         {
             fft(A,B);
             add(A,C);
         }
         for(int i=;i<=m;i++) nw[i]=C[i];
         fft(C,B);
         add(C,nw);
         fft(B,B);
         k>>=;
     }
 }
 
 int main()
 {
     int n;
     scanf("%d%d%d%d%d%d",&m,&Mod,&n,&aa,&bb,&cc);
     if(n>m) n=m;
     nn=;int ll=;
     while(nn<=*m) nn<<=,ll++;
     for(int i=;i<=nn;i++) R[i]=(R[i>>]>>)|((i&)<<(ll-));
     qpow(n);
     printf("%d\n",A[m]);
     return ;
 }

2017-04-14 21:46:24