题目链接

Problem Description

HazelFan wants to build a rooted tree. The tree has n nodes labeled 0 to n−1, and the father of the node labeled i is the node labeled ⌊i−1k⌋. HazelFan wonders the size of every subtree, and you just need to tell him the XOR value of these answers.

Input

The first line contains a positive integer T(1≤T≤5), denoting the number of test cases.

For each test case:

A single line contains two positive integers n,k(1≤n,k≤1018).

Output

For each test case:

A single line contains a nonnegative integer, denoting the answer.

Sample Input

2

5 2

5 3

Sample Output

7

6

题意:

有一个由n个节点(编号为0~n-1)构成的完全k次树,节点i的父节点的编号为 ⌊(i−1)/k⌋。求出所有的节点大小的异或值。

分析:

因为这是一棵完全k次树,我们手下可以确定的一点就是如果这是一棵满k次树,那么所有的叶子节点都在最后一层,否则除最后一层不满外,倒数第二成还有一部分的叶子结点,也就是说所有叶子结点的高度差最多为1,而且最后一层的叶子结点还全部在左边,倒数第二成的叶子结点全部在右边.

还可以发现或许会存在(如果存在的话仅有一个)有一个节点有子节点,但是子节点的个数又不是k,我们称这个节点为残缺节点。

最后一层的残缺节点肯定就是最后一个节点,我们可以发现该层上它左边节点的大小全部为1,右边全部为0,在往上递归回溯的时候,这时当前节点子树的大小特殊,其左边的所有同层次节点子树大小相同,其右边的所有同层次节点子树大小相同,所以对于每一层只需要考虑三种不同的节点子树大小以及个数。

具体的解释参考代码,注释很详细。

代码:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N=1e18+5;
LL cnt[70];///每一层的残缺节点所在的地方
LL pw[70];///每一层的所有的节点的个数
int deep;
LL n,k,m,ans,L,R,mid; void dfs(int x)
{
/*
L:左兄弟节点往下的所有节点的个数
R:右兄弟节点往下的所有节点的个数
mid:残缺节点往下的所有的节点的个数
*/
if(x>deep) return ;
dfs(x+1);
LL pos=(cnt[x]-1)%k; ///pos表示的是于那个残缺节点同父节点的左边的兄弟节点个数 int f=(cnt[x]-1)&1;///左边的兄弟节点个数的奇偶性,奇数才异或一次
if(f) ans^=L; f=(pw[x]-cnt[x])&1;///同理右边的子树个数的奇偶性
if(f) ans^=R; ans^=mid; mid=pos*L+mid+1+(k-pos-1)*R;
L=L*k+1;///左边一个子树上的节点个数
R=R*k+1;///右边一个子树上的节点个数
} int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld",&n,&k);
if(k == 1)///为1的情况单独考虑
{
if(n%4 == 0) ans = n;
else if(n%4 == 1) ans = 1;
else if(n%4 == 2) ans = n+1;
else if(n%4 == 3) ans = 0;
printf("%lld\n",ans);
continue;
}
LL tmp=1;
m=n-1;
pw[0]=1;///pw表示的是每一层的节点个数
for(int i=1; i<70; i++)
{
tmp=tmp*k;
pw[i]=tmp;
if(m<tmp || tmp<0 )
{
pw[i]=N;
deep=i;
break;
}
m-=tmp;
}
cnt[deep]=m;///最后一层不满有m个
if(m==0)///最后一层为0个的话,相当于上一层正好铺满往上移一层
{
deep--;
m=cnt[deep]=pw[deep];
}
///之后的每一层
for(int i=deep-1; i>=0; i--)
{
cnt[i]=(m+k-1)/k;
m=cnt[i];
}
L=1;
mid=1;
R=0;
ans=0;
dfs(0);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}

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