[CODE FESTIVAL 2018]Sushi Restaurant

题意：有$n$个人，对每个人，他有$p_i$的概率饥饿值为$x_i$（$1\leq i\leq m$），你现在要做$n$盘寿司，每盘寿司有一定的数量，当这$n$个人的饥饿值确定后他们会自己选择最优的（人，寿司）配对方案使得$C=\sum\limits_{i=1}^n\left\lvert h_i-c_i\right\rvert$最小（设第$i$个人饥饿值为$h_i$，吃的寿司数量为$c_i$），现在要合适地选择$c_{1\cdots n}$使得$C$的期望最小，输出这个最小的期望

首先，如果确定了$h_{1\cdots n},c_{1\cdots n}$，那么将它们都排序就可以得到最小的$C$，因为如果先把$h$从小到大排序，并且存在$c_i\gt c_j$，那么交换$c_i,c_j$不会让$C$变大

那么我们要最小化$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mt_{i,j}\left\lvert c_i-x_j\right\rvert$，其中$t_{i,j}$为这些随机变量中第$i$小的数是$x_j$的概率

设$u_{i,j}$为第$i$小的数$\leq x_j$的概率，那么$t_{i,j}=u_{i,j}-u_{i,j-1}$，我们要算$u$

设$s$为$p$的前缀和，因为恰有$k$个数$\leq x_j$的概率为$\binom nks_j^k(1-s_j)^{n-k}$，所以$u_{i,j}=\sum\limits_{k=i}^n\binom nks_j^k(1-s_j)^{n-k}$

最后的问题是要确定$c_i$使得$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mt_{i,j}\left\lvert c_i-x_j\right\rvert$最小，对每个$i$分开考虑，就是求一条折线上的最小值，而折线上的最小值只能在端点处取到，所以扫一遍即可

#include<stdio.h>
typedef long double du;
const du inf=9223372036854775807.;
void fmin(du&a,du b){
	if(b<a)a=b;
}
du pow(du a,int b){
	du s=1;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1)s*=a;
		a*=a;
	}
	return s;
}
int x[2010],m;
du s[2010],c[2010][2010],t[2010][2010],st[2010];
du solve(du*t){
	int i;
	du res;
	for(i=1;i<=m;i++){
		st[i]=st[i-1]+t[i];
		s[i]=s[i-1]+t[i]*x[i];
	}
	res=inf;
	for(i=1;i<=m;i++)fmin(res,st[i]*x[i]-s[i]+s[m]-s[i]-(st[m]-st[i])*x[i]);
	return res;
}
int main(){
	int n,Q,i,j;
	du res;
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&Q);
	for(i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",x+i,&j);
		s[i]=s[i-1]+j/(du)Q;
	}
	c[0][0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		c[i][0]=1;
		for(j=1;j<=i;j++)c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
	}
	for(i=n;i>0;i--){
		for(j=1;j<=m;j++)t[i][j]=t[i+1][j]+c[n][i]*pow(s[j],i)*pow(1-s[j],n-i);
	}
	res=0;
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=m;j>0;j--)t[i][j]-=t[i][j-1];
		res+=solve(t[i]);
	}
	printf("%.8lf",(double)res);
}