数学：A^B的约数（因子）之和对MOD取模

POJ1845

首先把A写成唯一分解定理的形式

分解时让A对所有质数从小到大取模就好了

然后就有：A = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 *...* pn^kn

然后有： A^B = p1^(k1*B) * p2^(k2*B) *...* pn^(kn*B);

约数和公式：

对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)

有A的所有因子之和为

S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)

那么A^B就可以是

sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...* [1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)].

求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n

（）若n为奇数,一共有偶数项，则：
       + p + p^ + p^ +...+ p^n

      = (+p^(n/+)) + p * (+p^(n/+)) +...+ p^(n/) * (+p^(n/+))
      = ( + p + p^ +...+ p^(n/)) * ( + p^(n/+))

上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，那么只需要不断递归二分求和就可以了，后半部分为幂次式，将在下面第4点讲述计算方法。

（）若n为偶数,一共有奇数项,则:
       + p + p^ + p^ +...+ p^n

      = (+p^(n/+)) + p * (+p^(n/+)) +...+ p^(n/-) * (+p^(n/+)) + p^(n/)
      = ( + p + p^ +...+ p^(n/-)) * (+p^(n/+)) + p^(n/);

   上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，依然递归求解

p^n直接快速幂就可以了

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 const int mod=;
 const int maxn=;
 int A,B;
 int fatcnt;
 int prime[maxn];
 long long factor[][];
 void get_prime()
 {
     memset(prime,,sizeof(prime));
     for(int i=;i<=maxn;i++)
     {
         if(!prime[i]) prime[++prime[]]=i;
         for(int j=;j<=prime[]&&prime[j]<=maxn/i;j++)
         {
             prime[prime[j]*i]=;
             if(i%prime[j]==) break;
         }
     }
 }
 int get_factors(long long x)
 {
     fatcnt=;
     long long tmp=x;
     for(int i=;prime[i]<=tmp/prime[i];i++)
     {
         factor[fatcnt][]=;
         if(tmp%prime[i]==)
         {
             factor[fatcnt][]=prime[i];
             while(tmp%prime[i]==)
             {
                 factor[fatcnt][]++;
                 tmp/=prime[i];
             }
             fatcnt++;
         }
     }
     if(tmp!=)
     {
         factor[fatcnt][]=tmp;
         factor[fatcnt++][]=;
     }
     return fatcnt;
 }
 long long pow_mod(long long a,long long n)
 {
     long long res=;
     long long tmp=a%mod;
     while(n)
     {
         if(n&)
         {
             res*=tmp;
             res%=mod;
         }
         n>>=;
         tmp*=tmp;
         tmp%=mod;
     }
     return res;
 }
 long long sum(long long p,long long n)
 {
     //1+p+p^2+````+p^n
     if(p==) return ;
     if(n==) return ;
     if(n&)
         return ((+pow_mod(p,n/+))%mod*sum(p,n/)%mod)%mod;
     else
         return ((+pow_mod(p,n/+))%mod*sum(p,n/-)+pow_mod(p,n/)%mod)%mod;
 }
 int main()
 {
     get_prime();
     while(scanf("%d%d",&A,&B)==)
     {
         get_factors(A);
         long long ans=;
         for(int i=;i<fatcnt;i++)
         {
             ans*=(sum(factor[i][],B*factor[i][])%mod);
             ans%=mod;
         }
         printf("%I64d\n",ans);
     }
     return ;
 }