OPenGL中三维图形的矩阵变换

对于二维的图形开发，拿简单的图片显示来说，我们主要的目的：就是在一块显示ｂｕｆｆｅｒ中，不停的把每个像素进行着色，然后就可以绘制出来了．为了速度，很多其他的加速方法，但原理基本上就是这样了．　很直观，也很简单．　就像我们在画布上进行着色，就可以了．

习惯了上面的二维的图形开发，我们来到三维世界，感觉一下子找不到北了．　怎样把颜色绘制上去了？怎样旋转／怎样平移呢？等等问题都一一来了．

如果这时候，你去网上搜的话，有很多网页都会提到只要调用某个函数就可了．(opengl里面有现成的函数）

我们先不跳入到具体的函数里面，而是把三维的图像绘制来整理一遍．

二维的图像显示，我们感觉是在画布上着色，而在三维的图像显示，就相当于用照相机照相了．尽管最后底片上冲印出来的照片是二维的，但这个过程中就不再象我们二维那么简单的去着色了，它里面有一个转换的过程．如果我们知道了这个转换过程，反过来来看相应的函数，就知道为什么是这样了．

坐标系的区分我们就不提了，很多书上都写过，也比较好理解．

一般来说，建模时采用建模坐标系，然后在绘制的时候，先把建模坐标系转换到世界坐标系．

opengl的坐标系，　Ｚ的正方向指向屏幕外的（属于右手坐标系），Ｘ的正方向指向右，　Ｙ的正方向指向上．　

我们假设在前面某个点(0,10,-10)　放置了一个茶杯．　我们这样把这个茶杯显示在屏幕上呢？　如果是二维的开发，我们估计直接把茶杯的图片显示出来，而现在在三维上，我们是用相机来拍照，场景里面就不只是一个茶杯了，还有其他的东西，并且茶杯如何体现它的三维的成像，也是一个问题．

既然是拍照，我们就需要把相机的位置调整好，这一般来说就是一个视点（看的地方）．　然后我们需要调整相机的朝向，这个也好理解．

剩下的问题是，我相机也选好位置了（0,10,0)，方向也选好了（指向(0,0,-1))． 好，这时我们要考虑一个初学者容易想不清楚的问题，茶杯如何在观察屏幕显示出来呢？

上面简单的绘制了一个示意图，为了把Cup绘制到Screen上，我们需要做下面的变换．

首先，我们建立一个观察坐标系，其原点在(ViewPoint)上，然后我们需要一个观察平面（也就是上面的Screen,注意这个和真正屏幕显示出来的有点差别，会有另外一个对应关系，不过也就是二维的变换，我们就不仔细区分）．　现在我们就想把Cup的形状在观察平面上投影，注意是投影．　这个投影的结果也就是我们绘制的结果．

既然是投影，就和坐标有关联了，因此我们必须把Cup都统一转换到观察坐标系里面来，这个过程涉及到平移／旋转等操作．

当我们把Cup的坐标和模型都使用了观察坐标系表示之后，　就要开始真正的投影了．

投影从数学角度来说，是比较简单和直观的．　正交投影和透视投影是两种不同的投影．我在这边把它比如成光源．正交投影，就是有一排平行于观察平面的法线的方向的光源，它发出一组平行线，从而不管物体离观察平面的远近，大小都是一样的．　

而透视投影，类似于有个点光源，它会发出一组相交于一点的光线，从而相同的大小，近的物体投影的大小大，而远一些的就小一点．

投影之后，就在观察界面有了显示，这就是我们最终的成像了．　观察平面从数学来说是无线大的，从我们实际使用角度，我们需要限制一个大小，这个大小也就决定了，我们那些区域可以显示，其他投影在别的区域就忽略）．这就是很多书上说的裁剪窗口．

针对不同的投影，可以计算出每个点(x,y,z)在观察平面的投影的位置(Xview, Yview, Zview).　问题就来了，不同的点有可能映射到相同的位置，怎样来区分？？？　我发现前人真的很聪明，他们把这些投影的位置，他们引入了投影转换的概念，使得先前物体的位置的ｚ保持不变，而把(x,y)转换到(Xview,Yview)．这样我们就发现，在前面的裁剪空间（人为的选定一个ｚ轴的near和far的区域），这个区域中就保存了很多相同的点(Xview,Yview)只是z坐标不同．　然后我们根据远近的原则，就可以确定最终在观察平面上的点是由那个空间点来决定的．　一般来说，为了统一化，经过投影转换（也就是把x,y转换成最终的映射到观察平面的点(Xview,Yview)),我们就形成了一个统一的区域（这时就相当于正交投影了）．　因为这时每个点的ｘ，ｙ坐标和最终映射到观察平面是一致的．　这时统一之后，为了更加快捷操作，可以进一步做规范化处理（使得每个坐标轴都在(-1,1)的范围），然后进行区域裁剪，可见面的绘制，光照等着色处理．这样就形成了最后的成像．　　

　　在正交投影时，就类似于我们在观察平面上每个点(Xview,Yview)可以找到所对应的物体（根据ｚＢｕｆｆｅｒ来进行深度测试等）．这样就能使得前面的物体可以挡住后面的物体．　最终就是通过投影变换，把不同的投影都转换成最终的正交投影，然后感觉ｚ轴的不同进行深度测试，从而可以区分那些物体可以先画，那些物体被遮挡．　统一了就好办多了．:)

成像之后，我们在把成像的内容放到屏幕上去显示（这有点类似于照片底片的冲印）．　我们观察平面的裁剪窗口的大小和屏幕的大小可以一致，也可以有差别．　但为了使得最终的效果基本一致，所以，一般设置成它们具有相同的　aspect(横纵比 w/h),　从而它们的转换关系就是等比例的放大或者缩小，而不会产生扭曲．

上面这个过程，也就是我们三维显示的过程．那怎样和opengl来关联呢？这就要调用opengl的相关函数了．

网上讲解这些函数的很多，但和我们上面理解的过程如何对应起来的很少，很少．

首先：我们需要把显示的物体转换到观察坐标系

如果物体有自己的建模坐标系，则需要把这个转换到世界坐标系，然后再转换到观察坐标系．

既然坐标系的转换，那我们首先要建立观察坐标系．

因此，我们首先要选取观察坐标系的（原点，ｚ轴的，以及ｙ轴的方向），通过ｚ轴和ｙ轴的方向，可以确定ｘ轴的方向．

这个过程，opengl用

gluLookAt(GLdoble eyex,GLdouble eyey,GLdouble eyez,GLdouble centerx,GLdouble centery,GLdouble centerz,GLdouble upx,GLdouble upy,GLdouble upz);

函数来制定了，　它选取 eyex,eyey, eyez　做为原点（观察坐标系的坐标（用世界坐标系来表示的）），然后centerx, centery,centerz　指定了观察方向（ｚ轴的反方向），　upx,upy,upz　指定了ｙ轴的正方向的近似方向（它不一定和ｚ轴方向正交，但可以通过相关的运算，找到正交的Ｙ轴的正方向，从而也可以找到ｘ轴的正方向．主要就是通过向量的点乘和叉乘来计算的））．

指定了这些，从而也就建立了从世界坐标系到观察坐标系的转换的矩阵．opengl的把这个转换的矩阵保存在矩阵堆栈中，从而后面就自动的把其他的世界坐标系转换到观察坐标系里面）．　坐标系的转换，也就是物体的描述转换到观察坐标系里面了．从而后面的投影，就统一在观察坐标系里面来计算．

这就是gluLookAt的函数的作用，它封装了世界坐标系到观察坐标系的转换．　它在：glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

的模式下调用的．

我们这样来阐述了　gluLookAt的函数的原理和作用．现在应该清楚它是怎样来的，为什么来的吧？　说简单就是为了建立坐标系的转换，把所有的物体都用观察坐标系来描述．　而不是从函数的名称来看，感觉是让我们看某个地方，尽管它有点这方面的含义，但不直观．

ＯＫ，我们明白了gluLookAt的作用，调用之后，我们就把坐标系变换的矩阵放入了矩阵栈，后续对物体的位置描述，会通过此矩阵栈进行转换到我们的观察坐标系了．

从这点来说，还是很佩服opengl的设计者的思路，把变换矩阵进入了堆栈来保存，从而在绘制不同的物体时，不需要把它当成额外的参数带入．使得使用起来更加方便／直观．　不过初学者，有些时候就感觉找不到北了，总感觉为何我们调用旋转的函数，和物体有点不相关呢？

好，接下来，我们看看投影这块．　既然，已经转换到观察坐标系了，我们在观察坐标系的世界里，把物体投影在我们的观察平面的中，然后通过裁剪窗口，截取我们需要的那块就可以了．

我们这边以：透视投影为例，　它是怎样来达到这个效果呢？

借用网上的这幅图片，我们来说明gluPerspective,是做什么的，为什么要这么做？

前面我们说过，透视投影，类似于一组聚焦的光线，把物体投影到我们的观察平面上．

现在我们就在想，观察平面在那呢？　投影的聚焦的光线聚焦在那点呢？

如果知道了这个，也就好算，某个位置的点在观察平面上投影了．

Opengl规定，透视投影的聚焦点，在观察坐标系的原点（也就是我们gluLooKAt的指定的观察点），那我们的观察平面在哪呢？裁剪窗口又在哪呢？

这就是opengl里面的gluPerspective要实现的．

gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect,GLdouble zNear,GLdouble zFar)

zNear,zFar是到观察原点的距离（沿着ｚ的负轴方向），因此这两个数应该总数设定成正数．

从网上很多资料都在说，zNear和zFar做为一个深度的裁剪范围，在这个范围内的物体才能进行投影，否则就直接忽略．初学者到这个地方，也能够理解，但从我们上面的问题来看，我们不知道观察平面在哪呢？　其实opengl已经规定了，观察平面就在近平面这里，也就是zNear指定的地方，　观察平面是平行于观察坐标系的（Ｘ，Ｙ），因此我们指定ｚ轴，也就指定它的位置．　

OK,我们的观察平面已经确定了，那观察平面的裁剪区域呢？

前面我们说过，观察平面的裁剪窗口的　横纵比（w/h)最好和屏幕的一致（估计说的不准确，也就是视口的横纵比，从而只是等比例缩放而已）．　因此，gluPerspective的第二个参数就是 aspect了，这样就把裁剪区域的宽度和高度的比例确定了．那剩下的是，我们目前还需要设定高度或者宽度．

gluPerspective的第一个参数是,fovy,它是一个角度．其实通过fovy和zNear能够计算出裁剪窗口的高度．从而我们也就决定了裁剪窗口

的大小了．　fovy就是视锥体的上下平面的角度．　裁剪窗口的高度 h ＝ 2 * tan(fovy/2) * zNear.

从而我们也就明白了，上面有个网页上，把它比如成眼睛的睁开度，感觉有点牵强．

从而我们知道，如果它为０的话，那肯定裁剪窗口的高度和宽度都为０，那就没有任何显示了．呵呵

如果它是１８０度，那就是裁剪窗口的高度就是无穷大，肯定没有实际价值，程序有可能也崩溃了．

如果是178度，那它的裁剪窗口的高度也很大，裁剪的窗口越大，也就意味着它显示的东西越多．　如果对于同一个物体成像来说，它在观察平面的投影是不变的．　但由于底片的大小比我们视口的大，那我们就要等比例缩放了，从而在屏幕上的显示时，我们就感觉它变小了．呵呵．

上面网页上，还有一个截图，如果设置成１度，在很远的地方的一个球，感觉看的很大，很清楚，类似于照相机的镜头拉近了．

它也是一样的原理，本身这个球，在１度还是９０度，在我们的观察平面的投影是不变的，而变换的是我们的裁剪窗口的大小．设成１度，基本上裁剪窗口的高度很小，从而我们放到视口上，它就必须同比例的放大．从而就感觉放大了．并且显示的场景的范围也变小了．

好了，到目前位置，我们也就说清楚了gluLooKAt　和　gluPerspective的作用了，还有什么不明白的，请评论？谢谢

视口的调整大小，opengl的函数是glViewPort，这个和二维的就一样了，没有特别需要注意的．