LightOJ - 1341 Aladdin and the Flying Carpet 唯一分解定理LightOJ 1220Mysterious Bacteria

题意：

ttt 组数据，第一个给定飞毯的面积为 sss，第二个是毯子的最短的边的长度大于等于这个数，毯子是矩形但不是正方形。

思路：

求出 sss 的所有因子，因为不可能是矩形，所以可以除以 222，最后暴力求出最短边长以内的因子，相减得出答案。

想要求出s以内的因子数量，就用到了唯一分解定理，先求素数想要求出s以内的因子数量，就用到了唯一分解定理，先求素数想要求出s以内的因子数量，就用到了唯一分解定理，先求素数

唯一分解定理：

任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1^a1 P2^a2 P3^a3 … Pn^an，这里P1<P2<P3…<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式

（1）一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为：N=P1^a1 P2^a2 P3^a3 … Pn^an ，那么它的正因数个数为 sum=(1+a1)(1+a2)(1+a3)…(1+an)。

（2） 它的全体正因数之和为 (1+p1¹+p1²+…+p1^a1)(1+p2¹+p2²+…+p2^a2)…(1pn¹+pn²+…+pn^an)。

LightOJ1220:LightOJ 1220:LightOJ1220: x=b^p,求出最大的 p 可以是几？（LightOJ 1220 Mysterious Bacteria）

即求出 x的标准分解式中的所有a的最大公约数。

//LightOJ - 1341
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<vector>
using namespace std;
int main()
{
    int t,z=1;
    bool book[1000910]= {0};
    long long s,l;
    vector<int>v;
    for(int i=2; i<=1000010; i++)
        if(!book[i])
            for(int j=i*2; j<=1000010; j=j+i)
                book[j]=1;
    for(int i=2; i<=1000008; i++)
        if(!book[i])
            v.push_back(i);
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&s,&l);
        if(l>=sqrt(s))
        {
            printf("Case %d: 0\n",z++);
            continue;
        }
        long long sum=0;
        for(long long  i=1; i<l; i++)
            if(s%i==0)
                sum++;
        long long i=0,ans=1;
        while(i<v.size()&&v[i]<s)//素数小于 s
        {
            int tt=0;
            while(s%v[i]==0)
            {
                tt++;
                s=s/v[i];
            }
            ans=ans*(1+tt);//(1+a1)*(1+a2)*(1+a3)*.....*(1+an) //因子的数量
            i++;
        }
        if(s>1)//若s>1，则为素数
            ans=ans*2;
        ans=ans/2;//几对素数
        printf("Case %d: %lld\n",z++,ans-sum);
    }
    return 0;
}

//LightOJ 1220
#include<string.h>
#include<vector>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)//求最大公约数
{
    return a%b==0?b:gcd(b,a%b);//辗转相除法
}
int main()
{
    vector<int>v;
    bool book[1010000];
    memset(book,0,sizeof(book));
    book[1]=1;
    for(int i=2; i<=1000100; i++)//素数筛
        if(!book[i])
        {
            v.push_back(i);//储存素数
            for(int j=i*2; j<=1000100; j=j+i)
                book[j]=1;
        }
    int t,z=1,flag=0;
    long long n;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        flag=0;
        scanf("%lld",&n);
        if(n<0)
        {
            n=n*-1;
            flag=1;
        }
        int ans=0;
        for(int i=0; i<v.size()&&v[i]*v[i]<=n; i++)
        {
            if(n%v[i]==0)
            {
                int tt=0;
                while(n%v[i]==0)
                {
                    n=n/v[i];
                    tt++;
                }
                if(ans==0)//第一次求最大公约数
                    ans=tt;
                else
                    ans=gcd(ans,tt);// x=b^p   p=gcd(a1,a2,a3...,an)
            }
        }
        if(n > 1)//存在n>1时 指数的最大公约数为1 n此时为素数
            ans = gcd(ans, 1);
        if(flag == 1)
        {
            while(ans % 2 == 0)
                ans >>= 1;
        }
        printf("Case %d: %d\n",z++,ans);
    }
    return 0;
}