LOJ6300 BZOJ5283 [CodePlus 2018 3 月赛]博弈论与概率统计

一道好题！很久以前就想做了，咕到了现在，讲第二遍了才做。

首先我们观察到$p$是没有用的 因为赢的次数一定 那么每一种合法序列出现的概率均为$p^n*(1-p)^m$ 是均等的 我们可以不看它了

然后我们可以通过计算所有序列的答案再除以$C_{n+m}^n$就可以了

然后我们开始进行神奇操作

赢的话就是+1输的话就是-1 那么我们可以观察到最后的结果就是$n-m-min \left (s_i \right )$ 其中s表示前缀和

那么我们有答案就是$C_{n+m}^n \left (n-m \right ) - min \left (s_i \right )$ 其中第一项直接解决 我们考虑处理第二项

第二项我们用一个$f[x]$来表示 最小值为$x$的方案数 这个玩意直接求并不好求 那么我们考虑利用差分性来求

我们再设$g[x]$表示最小值$<=x$的方案数 于是$f[x]=g[x]-g[x-1]$

考虑求数组$g$

我们发现这个数列的转移只有两种 $(x,y)->(x+1,y+1)$ 或者 $(x,y)->(x+1,y-1)$ 分别对应着Alice赢和Bob赢

如果一个序列的最小值$<=k$那么它一定会有一部分位于$y=k$上/以下 接下来继续思考

如果我们把第一次接触到$y=k$的点以后的图像翻转 那么最后一个节点的坐标就是$\left ( n+m,2*k-n+m\right )$

这样的话我们就可以得到比较优美的性质 就是Alice赢了$k+m$次 Bob赢了$n-k$次

那么显然这样的折线应该是有$C_{n+m}^{m+k}$个 于是可以得到$g[x]=C_{n+m}^{m+k}$ 推到$f[x]=C_{n+m}^{m+k}-C_{n+m}^{m+k-1}$

继续向下推导

首先发现n>=m 和 n<m是不一样的 因为前者的最小值区间是$\left[-m,0\right]$ 后者是$\left[-m,n-m\right]$

这两类是不一样的于是我们分类讨论

对于第一种我们如下推导

$ans=(n-m)C_{n+m}^n-x*f[x]$

$ans=(n-m)C_{n+m}^n-\sum_{x=-m}^0 C_{n+m}^{m+x} - C_{n+m}^{m+x-1}$

$ans=(n-m)C_{n+m}^n+\sum_{x=0}^m C_{n+m}^{m-x} - C_{n+m}^{m-x-1}$

$ans=(n-m)C_{n+m}^n+\sum_{x=0}^m x*C_{n+m}^{m-x} - \sum _{x=0}^{m-1} x*C_{n+m}^{m-x-1}$

$ans=(n-m)C_{n+m}^n+\sum_{x=0}^{m-1}C_{n+m}^{m-x-1}$

$ans=(n-m)C_{n+m}^n +\sum_{x=0}^{m-1}C_{n+m}^x $

对于n<m我在这里留给读者自行推导 （才不是因为我懒

最后的柿子也很相似

$ans=\sum_{x=0}^{n-1} C_{n+m}^x$

然后我们就落到了最后一个问题

组合数前缀和怎么算= =

这是一个常见问题

我们有

$\sum_{x=0}^m C_{m+1}^x = \sum _{x=0}^{m}(C_n^x + C_n^{x-1})=(2*\sum_{x=0}^m C_n^x)-C_n^m$

详细理解请参照杨辉三角

然后呢 我们惊奇的发现 特么多组询问！！！

这个咋整呢

我们可以利用莫队来做 我们对于组合数前缀和可以$O(1)$转化了 那么 我们就可以愉快的套上莫队美滋滋

在这里我遇到了一点小问题 就是在初始化的地方 如果id循环到N就是可以过的 循环到T是会T的 具体情况我也不知道

感觉和底层优化？ 或者计算机硬件有关？ 这个如果有神仙知道为什么的话请一定联系我！会超级感谢！

这个题整体思路都很神仙 大概不看的话是完全想不到的 用莫队来做组合数前缀和很久以前也就听说过了 在这里第一次使用到

还有此题略微卡常 虽然我没遇到 但是前面那个小问题还是卡了很久 看了标程对着才改到 所以这个题还是可以多看看学习一下的

最后的复杂度是$O((n+m)\sqrt(n+m))$

不清楚为什么大家块大小都取的477 跟风一波。

代码扔这里了。

//Love and Freedom.
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define inf 20021225
#define N 250001
#define B 477
#define mdn 1000000007
using namespace std;
int read()
{
    int s=,f=; char ch=getchar();
    while(ch<'' || ch>'')    {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
    while(ch>='' && ch<='')    s=s*+ch-'',ch=getchar();
    return f*s;
}
int ksm(int bs,int mi)
{
    int ans=;
    while(mi)
    {
        if(mi&)    ans=1ll*ans*bs%mdn;
        bs=1ll*bs*bs%mdn; mi>>=;
    }
    return ans;
}
struct node
{
    int l,r,id;
    node(){}
    node(int _l,int _r,int _id){l=_l,r=_r,id=_id;}
}k[N],a[N];
int id[N],fac[N],inv[N],ans,fin[N],T;
void add(int &x,int y){x=x+y>=mdn?x+y-mdn:x+y;}
void sub(int &x,int y){x=x-y<?x-y+mdn:x-y;}
bool cmp(node a,node b)
{
    if(id[a.l]==id[b.l])    return a.r<b.r;
    return id[a.l]<id[b.l];
}
int C(int n,int m)
{
    if(n<m)    return ;
    return 1ll*fac[n]*inv[m]%mdn*inv[n-m]%mdn;
}
int invC(int n,int m)
{
    if(n<m)    return ;
    return 1ll*inv[n]*fac[m]%mdn*fac[n-m]%mdn;
}
void upd(int n,int m,int f)
{
    if(f==)    add(ans,ans),sub(ans,C(n,m));
    else if(f==)    add(ans,C(n-,m)),ans=1ll*ans*inv[]%mdn;
    else if(f==)    add(ans,C(n,m+));
    else    sub(ans,C(n,m));
}
void solve()
{
    for(int i=;i<N;i++)    id[i]=i/B+;
    sort(k+,k+T+,cmp); int n=,m=; ans=;
    for(int i=;i<=T;i++)
    {
        while(n<k[i].l)    upd(n++,m,);
        while(n>k[i].l)    upd(n--,m,);
        while(m<k[i].r)    upd(n,m++,);
        while(m>k[i].r)    upd(n,m--,);
        add(fin[k[i].id],ans);
    }
}
int main()
{
    T=read(); int p=read();
    fac[]=;
    for(int i=;i<N;i++)    fac[i]=1ll*fac[i-]*i%mdn;
    inv[N-]=ksm(fac[N-],mdn-);
    for(int i=N-;i;i--)    inv[i-]=1ll*inv[i]*i%mdn;
    for(int i=;i<=T;i++)
    {
        int n=read(),m=read(); a[i].l=n,a[i].r=m;
        if(n>=m)    fin[i]=1ll*(n-m)*C(n+m,n)%mdn,k[i]=node(n+m,m-,i);
        else    k[i]=node(n+m,n-,i);
    }
    solve();
    for(int i=;i<=T;i++)
    {
        int tmp=1ll*fin[i]*invC(a[i].l+a[i].r,a[i].r)%mdn;
        printf("%d\n",tmp);
    }
    return ;
}