FPGA内部计算小数

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谓定点小数,就是小数点的位置是固定的。我们是要用整数来表示定点小数,由于小数点的位置是固定的,所以就没有必要储存它(如果储存了小数点的位置,那就是浮点数了)。既然没有储存小数点的位置,那么计算机当然就不知道小数点的位置,所以这个小数点的位置是我们写程序的人自己需要牢记的。

先以10进制为例。如果我们能够计算12+34=46的话,当然也就能够计算1.2+3.4 或者 0.12+0.34了。所以定点小数的加减法和整数的相同,并且和小数点的位置无关。乘法就不同了。 12*34=408,而1.2*3.4=4.08。这里1.2的小数点在第1位之前,而4.08的小数点在第2位之前,小数点发生了移动。所以在做乘法的时候,需要对小数点的位置进行调整?!可是既然我们是做定点小数运算,那就说小数点的位置不能动!!怎么解决这个矛盾呢,那就是舍弃最低位。 也就说1.2*3.4=4.1,这样我们就得到正确的定点运算的结果了。所以在做定点小数运算的时候不仅需要牢记小数点的位置,还需要记住表达定点小数的有效位数。上面这个例子中,有效位数为2,小数点之后有一位。

现在进入二进制。我们的定点小数用16位二进制表达,最高位是符号位,那么有效位就是15位。小数点之后可以有0 - 15位。我们把小数点之后有n位叫做Qn,例如小数点之后有12位叫做Q12格式的定点小数,而Q0就是我们所说的整数。

Q12的正数的最大值是 0 111 . 111111111111,第一个0是符号位,后面的数都是1,那么这个数是十进制的多少呢,很好运算,就是 0x7fff / 2^12 = 7.999755859375。对于Qn格式的定点小数的表达的数值就它的整数值除以2^n。在计算机中还是以整数来运算,我们把它想象成实际所表达的值的时候,进行这个运算。

反过来把一个实际所要表达的值x转换Qn型的定点小数的时候,就是x*2^n了。例如 0.2的Q12型定点小数为:0.2*2^12 = 819.2,由于这个数要用整数储存, 所以是819 即 0x0333。因为舍弃了小数部分,所以0x0333不是精确的0.2,实际上它是819/2^12 =0.199951171875。

我们用数学表达式做一下总结:
x表示实际的数(*一个浮点数), q表示它的Qn型定点小数(一个整数)。
q = (int) (x *
2^n)
x =
(float)q/2^n

由以上公式我们可以很快得出定点小数的+-*/算法:
假设q1,q2,q3表达的值分别为x1,x2,x3
q3 = q1 + q2   若 x3 = x1 + x2
q3 = q1 - q2   若 x3 = x1 - x2
q3 = q1 * q2 / 2^n若 x3 = x1 * x2
q3 = q1 * 2^n / q2若 x3 = x1 / x2
我们看到加减法和一般的整数运算相同,而乘除法的时候,为了使得结果的小数点位不移动,对数值进行了移动。
用c语言来写定点小数的乘法就是:
short q1,q2,q3;
....
q3=((long q1) * (long q2)) >> n;

由于/ 2^n和* 2^n可以简单的用移位来计算,所以定点小数的运算比浮点小数要快得多。下面我们用一个例子来验证一下上面的公式:
用Q12来计算2.1 *
2.2,先把2.1 2.2转换为Q12定点小数:
2.1 * 2^12 = 8601.6 =
8602
2.2 * 2^12 = 9011.2 =
9011
(8602 * 9011)
>> 12 = 18923
18923的实际值是18923/2^12
= 4.619873046875 和实际的结果 4.62相差0.000126953125,对于一般的计算已经足够精确了。

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