[bzoj4908][BeiJing2017]开车

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你有n辆车，分别a1, a2, ..., an位置和n个加油站，分别在b1, b2, ... ,bn 。每个加油站只能支持一辆车的加油，所以你要把这些车开到不同的加油站加油。一个车从x位置开到y位置的代价为 |x-y| ，问如何安排车辆，使得代价之和最小。同时你有q个操作，每次操作会修改第i辆车的位置到x，你要回答每次修改操作之后最优安排方案的总代价。

 

n,m<=50000

 

首先排序之后一一匹配肯定是最优的。

把点离散之后，车看作1,加油站看作-1,求前缀和。对于离散后的每个点，如果它的前缀和不为0，那么显然有些车/加油站不能匹配，产生的代价是前缀和的绝对值乘以这个点到下个点的距离。

考虑分块维护这东西。对离散的点分根号个块，每一块都自己做一遍，处理出这个块在块之前的点前缀和取不同的值时会产生的代价。由于一个块自己的前缀和不超过根号n，所以只处理前缀和在正负根号n以内的即可，大于根号n或者小于负根号n的，额外代价加入的值相同。处理这个代价可以差分再差分，最后前缀和再前缀和，具体实现可以见代码，处理一个块复杂度$O(\sqrt{n})$。

然后对于修改操作，中间的整块移动一下重新统计答案，两遍的块重构即可。

复杂度$O(n\sqrt{n})$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define getchar() (*S++)
#define pa pair<int,int>
#define ll long long
#define MN 50000
#define MB 400
char B[<<],*S=B;
using namespace std;
inline int read()
{
    int x =  , f = ; char ch = getchar();
    while(ch < '' || ch > ''){ if(ch == '-') f = -;  ch = getchar();}
    while(ch >= '' && ch <= ''){x = x *  + ch - '';ch = getchar();}
    return x * f;
}
long long Ans,ans[MB+],F[MB+][MB*+],f[MB+][MB*+];
int n,m,l[MN*+],cnt=,pos[MB+],a[MN+],block[MN*+],v[MN*+];
int s[MN*+],b[MN+],tot=,size;
struct ques{int x,y;}q[MN+];
inline int abs(int x){return x<?-x:x;}
void Move(int x,int y)
{
    Ans-=ans[x];
    if(abs(y)<=MB) Ans+=(ans[x]=F[x][MB+y]);
    else
    {
        if(y>MB) Ans+=(ans[x]=F[x][MB<<]+1LL*(y-MB)*f[x][MB<<]);
        if(y<MB) Ans+=(ans[x]=F[x][]+1LL*(MB-y)*f[x][]);
    }
}

void Build(int x)
{
    int W=;
    for(int i=;i<=MB<<;++i) f[x][i]=F[x][i]=;
    for(int i=(x-)*size+;block[i]==x;++i)
    {
        F[x][MB]+=1LL*v[i]*abs(W+=s[i]);
        if(!W)  f[x][+MB]+=v[i],f[x][MB-]+=v[i];
        if(W>) f[x][MB+]+=v[i],W<MB?(f[x][MB-W-]+=v[i]<<):,f[x][MB-]-=v[i];
        if(W<) f[x][MB+]-=v[i],f[x][MB-W+]+=v[i]<<,f[x][MB-]+=v[i];
    }
    for(int i=;i<=MB;++i)
        F[x][MB+i]=F[x][MB+i-]+(f[x][MB+i]+=f[x][MB+i-]),
        F[x][MB-i]=F[x][MB-i+]+(f[x][MB-i]+=f[x][MB-i+]);
    Move(x,pos[x]);
}

int main()
{
    fread(B,,<<,stdin);
    n=read();
    for(int i=;i<=n;++i) a[i]=l[++cnt]=read();
    for(int i=;i<=n;++i) b[i]=l[++cnt]=read();
    m=read();
    for(int i=;i<=m;++i) q[i].x=read(),q[i].y=l[++cnt]=read();
    sort(l+,l+cnt+);
    for(int i=;i<=cnt;++i)    if(l[i]!=l[i-]) l[++tot]=l[i];
    for(int i=;i<tot;++i) v[i]=l[i+]-l[i];
    size=sqrt(tot);
    for(int i=;i<=n;++i)
        a[i]=lower_bound(l+,l+tot+,a[i])-l,
        b[i]=lower_bound(l+,l+tot+,b[i])-l,
        ++s[a[i]],--s[b[i]];
    for(int i=;i<=tot;++i) block[i]=(i-)/size+;
    for(int i=,w=;i<=block[tot];++i)
    {
        pos[i]=w;Build(i);
        for(int j=(i-)*size+;block[j]==i;++j) w+=s[j];
    }
    printf("%lld\n",Ans);
    for(int i=;i<=m;++i)
    {
        q[i].y=lower_bound(l+,l+tot+,q[i].y)-l;
        if(q[i].y!=a[q[i].x])
        {
            --s[a[q[i].x]];++s[q[i].y];
            if(block[q[i].y]==block[a[q[i].x]])
                Build(block[q[i].y]);
            else
            {
                int From=min(block[a[q[i].x]],block[q[i].y]),
                      To=max(block[a[q[i].x]],block[q[i].y]);
                for(int j=From+;j<To;++j)
                    Move(j,pos[j]+=(q[i].y>a[q[i].x]?-:));
                if(a[q[i].x]>q[i].y) ++pos[block[a[q[i].x]]];
                else --pos[block[q[i].y]];
                Build(block[q[i].y]);Build(block[a[q[i].x]]);
            }
        }
        a[q[i].x]=q[i].y;printf("%lld\n",Ans);
    }
    return ;
}